¿Puede todo espacio de Banach estar densamente embebido en un espacio de Hilbert? Esto está claro si el espacio de Banach es realmente un espacio de Hilbert, pero ¿se puede relajar mucho esto?
Si la incrustación existe, ¿el espacio de Hilbert objetivo es único?
Podemos demostrar que $\ell_\infty(I)$ no puede incrustarse en un espacio de Hilbert, para un conjunto de índices incontables $I$ .
En este caso, interpreto la pregunta como sugiere Normal Human, donde se supone que la incrustación es lineal y continua. Supongamos que $f\colon \ell_\infty(I)\to H$ es una incrustación en el espacio de Hilbert $H$ . Por continuidad, existe un $K\in\mathbb{R}$ tal que $\lVert f(x)\rVert\le K\lVert x\rVert$ para todos $x\in\ell_\infty(I)$ .
Dada cualquier secuencia $x_1,\ldots,x_n\in H$ la identidad $$ \sum_{\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n=\pm1}\left\lVert\sum_{r=1}^n\epsilon_rx_r\right\rVert^2=2^n\left(\sum_{r=1}^n\lVert x_r\rVert^2\right) $$ se mantiene. Esto implica que existe una secuencia $\epsilon_r\in\{\pm1\}$ tal que $$ \left\lVert\sum_{r=1}^n\epsilon_rx_r\right\rVert^2\ge\sum_{r=1}^n\lVert x_r\rVert^2. $$ Ahora, para cada $i\in I$ , dejemos que $e_i\in\ell_\infty(I)$ se define por $(e_i)_j=0$ para $j\not=i$ y $(e_i)_i=1$ . Además, para cada $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ , dejemos que $S_n$ sea el conjunto de $i\in I$ tal que $\lVert f(e_i)\rVert\ge1/n$ . Como $f$ es una incrustación, tenemos $f(e_i)\not=0$ Así que $\bigcup_{n=1}^\infty S_n=I$ es incontable. Por lo tanto, $S_n$ es infinito para algunos $n$ . Entonces, para cualquier $N > 0$ , elija una secuencia $i_1,\ldots,i_N$ de elementos distintos de $S_n$ . Por lo que mostramos anteriormente, existe una secuencia $\epsilon_1,\ldots,\epsilon_N\in\{\pm1\}$ tal que $x\equiv\sum_{r=1}^N\epsilon_re_{i_r}$ satisface $$ \lVert f(x)\rVert^2\ge\sum_{r=1}^N\lVert f(e_{i_r})\rVert^2\ge N/n^2. $$ Sin embargo, $\Vert x\rVert=1$ Así que $$ \lVert f(x)\rVert\ge n^{-1}\sqrt{N}\lVert x\rVert. $$ Elegir $N>K^2n^2$ da una contradicción.
Demostraré que la respuesta es sí para cualquier separable Espacio de Banach $B$ . El caso de los no separables está cubierto por George Lowther más arriba.
Así que dejemos $B$ sea un espacio de Banach separable, y considere algún subconjunto denso contable $\{x_n\}_{n\in \Bbb N} \subset B$ . Para cada $n$ aplicamos el teorema de Hahn Banach para encontrar unos $f_n \in B^*$ tal que $f_n(x_n)=\|x_n\|$ y $\|f_n\|=1$ .
A continuación, definimos un producto interno $\langle \cdot, \cdot \rangle_2$ en $B$ al establecer $$\langle x,y \rangle_2 = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} f_n(x)f_n(y)$$ y dejamos que $\|\cdot\|_2$ sea la norma asociada.
Para comprobar que se trata realmente de un producto interior, la única propiedad no trivial que debemos comprobar es la no degeneración (lo que significa que $\|x\|_2=0 \implies x=0$ ). Definir $g:=\sup_n f_n$ . Tenga en cuenta que $|g(x)| \leq \|x\|$ desde $\|f_n\|= 1$ para todos $n$ . También hay que tener en cuenta que $g$ es continua, porque para cualquier $N$ tenemos que $f_N(x)-\sup_nf_n(y) \leq f_N(x)-f_N(y)$ así que tomando el sup sobre todo $N$ en ambos lados da que $g(x)-g(y) \leq g(x-y) \leq \|x-y\|$ . Simétricamente podemos cambiar $x$ y $y$ por lo que esto demuestra que $|g(x)-g(y)| \leq \|x-y\|$ demostrando así la continuidad. También $g(x_n) \geq f_n(x_n)=\|x_n\|$ y por lo tanto $g(x_n)=\|x_n\|$ para todos $n$ . Por la densidad del $x_n$ y la continuidad de $g$ se deduce que $g(x) = \|x\|$ para todos $x$ . Por lo tanto, $\|x\|=\sup_n f_n(x)$ , de modo que si $\|x\|_2=0$ entonces $f_n(x)=0$ para todos $n$ y por lo tanto $x=0$ .
Denotamos por $B'$ la finalización de $B$ con respecto a $\|\cdot\|_2$ . Entonces el mapa de inclusión $i:B \to B'$ es una incrustación continua, porque $$\|x\|_2^2 = \sum_n 2^{-n}f_n(x)^2 \leq \sum_n 2^{-n} \|x\|^2=\|x\|^2$$
Supongamos que existe un operador lineal inyectivo y acotado $T\colon X\to H$ , donde $H$ es un espacio de Hilbert. Entonces $\|x\|_{\rm new}=\|x\|+\|Tx\|$ ( $x\in X$ ) define una norma equivalente, estrictamente convexa, sobre $X$ .
No todos los espacios de Banach admiten una renormación estrictamente convexa -- sólo por mencionar $\ell_\infty(\omega_1)$ (Día) o $\ell_\infty / c_0$ (Bourgain).
Podría estar equivocado, pero parece que estás preguntando simplemente "¿podemos definir un producto interno en un espacio de Banach arbitrario?", lo cual se aborda en esta pregunta: ¿Existe un espacio vectorial que no pueda ser un espacio de producto interno?
En concreto, en la segunda respuesta de la pregunta enumerada, por el aviso de AOC podemos anotar una base de Hamel $\{e_i\}$ para $X$ Entonces, defina $(x,y)=\sum\overline{a_i}b_i$ para $x=\sum a_i e_i$ y $y=\sum b_i e_i$ . Esto dará un producto interno sobre $X$ y así $H=(X,\sqrt{(,)})$ será un espacio de Hilbert, y por tanto $T\colon X\hookrightarrow H$ será una incrustación de este tipo. Esto no tiene por qué ser único, ya que el producto interno depende de la elección de la base, y de hecho, como se señala en los comentarios, no será isométrico, y la norma será casi seguro diferente.
Espero que esto ayude.
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