Demuestra que $$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots = \frac{1}{2}.$$
No estoy muy seguro de qué hacer aquí, parece terriblemente similar a la paradoja de Zenón. Si la serie continúa infinitamente, entonces cada término va a ser cada vez más pequeño.
¿Es este un ejemplo en el que debería hacer una suma de Riemann y luego tomar el límite que terminaría siendo $1/2$ ?
Solución según la sugerencia de David Mitra en un comentario.
Escribe la serie dada como serie telescópica y evaluar su suma:
$$\begin{eqnarray*} S &=&\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots \\ &=&\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left( 2n-1\right) \left( 2n+1\right) } \\ &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{2\left( 2n-1\right) }-\frac{1}{ 2\left( 2n+1\right) }\right)\quad\text{Partial fractions decomposition} \\ &=&\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right) \qquad \text{Telescoping series} \\ &=&\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}-a_{n+1}\right), \qquad a_{n}= \frac{1}{2n-1},a_{n+1}=\frac{1}{2\left( n+1\right) -1}=\frac{1}{2n+1} \\ &=&\frac{1}{2}\left( a_{1}-\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}\right) \qquad\text{see below} \\ &=&\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2\cdot 1-1}-\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1 }{2n-1}\right) \\ &=&\frac{1}{2}\left( 1-0\right) \\ &=&\frac{1}{2}. \end{eqnarray*}$$
Añadido: La suma de las series telescópicas $\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}-a_{n+1}\right)$ es el límite de la suma telescópica $\sum_{n=1}^{N}\left( a_{n}-a_{n+1}\right) $ como $N$ tiende a $\infty$ . Desde
$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{N}\left( a_{n}-a_{n+1}\right) &=&\left( a_{1}-a_{2}\right) +\left( a_{2}-a_{3}\right) +\ldots +\left( a_{N-1}-a_{N}\right) +\left( a_{N}-a_{N+1}\right) \\ &=&a_{1}-a_{2}+a_{2}-a_{3}+\ldots +a_{N-1}-a_{N}+a_{N}-a_{N+1} \\ &=&a_{1}-a_{N+1}, \end{eqnarray*}$$
tenemos
$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}-a_{n+1}\right) &=&\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{N}\left( a_{n}-a_{n+1}\right) \\ &=&\lim_{N\rightarrow \infty }\left( a_{1}-a_{N+1}\right) \\ &=&a_{1}-\lim_{N\rightarrow \infty }a_{N+1} \\ &=&a_{1}-\lim_{N\rightarrow \infty }a_{N} \\ &=&a_{1}-\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}.\end{eqnarray*}$$
Puedes demostrarlo con sumas parciales: $$ S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{2(2k+1)}\right)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k-1}\right) $$ $$ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2(1)-1}-\frac{1}{2(n+1)-1}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)} $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}\right)=\frac{1}{2} $$
He aquí una forma intuitiva de visualizar este problema.
Imagina que un profesor te pone un examen con un número impar de problemas. Usted resuelve mal el primer problema. Luego, en los dos problemas siguientes, fallas uno y aciertas otro. A medida que el número de problemas aumenta hasta el infinito, tu puntuación se acercará a 1/2( o 50 %)
Prueba de 1 problema , su puntuación es 0/1
Prueba de 3 problemas, su puntuación es 1/3
La diferencia entre 1/3 y 0/1 es 1/3
Prueba de 5 problemas, su puntuación es 2/5
La diferencia entre 2/5 y 1/3 es 1/15
Prueba de 7 problemas, su puntuación es 3/7
La diferencia entre 3/7 y 2/5 es 1/35
(2n-1) prueba de problemas , su puntuación es (n-1)/(2n-1)
(2n+1) problemas, su puntuación es (n)/(2n+1)
La diferencia de tu puntuación entre una prueba (2n+1) y una prueba (2n-1) es:
(n+1)/(2n+1) - (n)/(2n-1) que se simplifica en
1/(2n-1)(2n+1)
La suma de esta serie (empezando por n =1 ) llega a 1/2
PS, puedes usar esta idea para probar que 1/2 + 1/6 +1/12 +1/20 +... llega a 1
En este ejemplo, fallas el primer problema del examen y luego aciertas el resto. A medida que el número de problemas llega a infinito, tu puntuación se aproxima a 1( o 100%)
Considere, $$f(n)=\frac{1}{(2n-1) \cdot (2n-1+2)}$$
donde $n$ es un número natural
$$\sum_{n=1}^\infty f(n)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1) \cdot (2n+1)}$$
Déjalo, $$\sum_{n=1}^{\infty} f(n) = S$$
es decir $$S=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}$$ es decir $$S=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2})(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$$
es decir $$S=(\frac{1}{2})\left(\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})\right)$$
es decir $$S=\lim_{n \to \infty}\left((\frac{1}{2})(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2})(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{2})(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \cdots + (\frac{1}{2})(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})\right)$$
es decir $$S=\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{2})\left((\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \cdots + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})\right)$$
es decir $$S=\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{2})\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2n+1}\right)$$
es decir $$S=(\frac{1}{2})\left(\frac{1}{1} - \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{2n+1})\right)$$
es decir $$S=(\frac{1}{2})\left(\frac{1}{1} - 0\right)$$
es decir $$S=(\frac{1}{2})\left(\frac{1}{1}\right)$$
es decir $$S=\frac{1}{2}$$
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