Generalmente, los números de Stirling de primera especie se definen como los coeficientes de la creciente factorial: $(*) \prod_{i=0}^{n-1}(x+i) = \sum_{i=0}^{n} S(n,i) x^i$.
Con esta definición, una relación recursiva de $S(n,i)$ se deriva, y se puede demostrar que es coincide con la relación recursiva en el número de permutaciones en un n-conjunto con los ciclos y tienen las mismas condiciones iniciales, por lo que coinciden.
1) hay alguna posibilidad de hacerlo al revés, es decir, definir $S(n,i)$ combinatoria y, a continuación, mostrar que $\prod_{i=0}^{n-1}(x+i) = \sum_{i=0}^{n} S(n,i) x^i$ mantiene para $x \in \mathbb{N}$ por algunos combinatoria argumento, y por lo tanto es un polinomio de identidad?
(Para los números de Stirling del segundo tipo, es posible: se puede demostrar que $n^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} i! S_2(k,i)$ combinatoria ($n^k$ cuenta la función de$[k]$$[n]$).)
2) Además: igualando los coeficientes en $(*)$ muestra que $S(n,i)$ es la escuela primaria, el polinomio simétrico en $n$ variables de grado $n-i$ evaluado en $(0,1,\cdots ,n-1)$. Hay una combinatoria interpretación de esto?
