Quasicoherent poleas ideal en subschemes abiertos

Question

Deje $X$ libre subscheme de un esquema afín $\operatorname{Spec} A$, vamos a $f : X \to \operatorname{Spec} A$ ser la inclusión, y deje $\mathscr{I}$ ser un quasicoherent ideal gavilla en $X$. Desde $\mathscr{O}_X = f^{-1} \mathscr{O}_{\operatorname{Spec} A}$, hay un canónica anillo homomorphism $\mathscr{O}_{\operatorname{Spec} A} \to f_* \mathscr{O}_X$. Deje $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{O}_{\operatorname{Spec} A}$ ser la preimagen de $f_* \mathscr{I} \subseteq f_* \mathscr{O}_X$. Claramente, $\mathscr{J}$ es un ideal gavilla, y por otra parte $\mathscr{I} = f^{-1} \mathscr{J}$ (como subsheaves de $\mathscr{O}_X$).

Pregunta. Es $\mathscr{J}$ quasicoherent?

Esto es especialmente cierto cuando se $X$ $\operatorname{Spec} A[S^{-1}]$ para algunos finitely generado conjunto multiplicativo $S$: la pregunta es, entonces, una simple cuestión de álgebra conmutativa. Por otro lado, a nivel de espacios topológicos, cada subconjunto cerrado de $X$ (afín o no) puede ser obtenida como la preimagen de algún subconjunto cerrado de $\operatorname{Spec} A$, pero por desgracia el mapa de ideal poleas para subconjuntos cerrados no es necesariamente un bijection.

Answer 1

Si $f$ es cuasi-compacto y cuasi-separados, a continuación, $f_*$ conserva cuasi-coherencia, y por lo $f_*\mathscr I$ es cuasi-coherente, como es $f_* \mathscr O_X$. Por lo tanto $\mathscr J$ es una fibra de producto de cuasi coherente poleas (la fibra de producto de $f_*\mathscr I$$\mathscr O_{\mathrm{Spec} A}$$f_*\mathscr O_X$), y por lo que es cuasi-coherente.

Más geométricamente, el ideal de $\mathscr I$ corta un cerrado subscheme $Z$$X$. El compuesto $Z \hookrightarrow X \buildrel f \over \to \mathrm{Spec} A$ es cuasi-compacto y separados (a condición de que el segundo mapa es), por lo que tiene una bien definida por el esquema de la teoría de la imagen. El ideal de $\mathscr J$ es, entonces, el cuasi coherente ideal gavilla de corte fuera de este esquema de la teoría de la imagen.

La parte superior de mi cabeza, no estoy seguro sobre el caso al $f$ no es cuasi-compacto y cuasi-separados.

(En realidad, supongo que el mapa está separado, está abierto un inmersión, por lo que el problema, si es que hay uno, que es cuasi-compacidad.)

Comentarios adicionales: Si $\mathscr I$ es radical (es decir, el cerrado subscheme de $X$ se reduce se reduce), a continuación, $\mathscr J$ es sólo el ideal de la gavilla de cortar el cierre de su cero locus (con la inducida por la reducción de la estructura), y por lo que es cuasi-coherente.

También, si dejamos $J$ el valor global de las secciones de $\mathscr J$, esto es un ideal en el $A$, y si $\mathscr J$ es cuasi-coherente, entonces, es el lugar ideal gavilla conectado a $J$. En cualquier caso, podemos basar cambio de la situación de$A$$A/J$, y así asumir que $\mathscr I$ es nilpotent, y que la única global secciones de $\mathscr J$ son cero.

Así que la pregunta (acerca de si existe un contraejemplo) se convierte en: ¿se puede encontrar un esquema afín Espec $A$, y un valor distinto de cero cuasi coherente nilpotent ideal gavilla $\mathscr I$ en un subconjunto abierto de $X$, por lo que el único elemento de $A$ restringir a una sección de $\mathscr I$$X$$0$?

(Agrega más adelante:) Bueno, aquí es un contraejemplo.

Necesitamos Espec $A$ con un subconjunto $X$, de modo que $X$ no es cuasi-compacto (así que vamos a preparar las cosas para $X$ es la unión de contables número de componentes conectados $X_n$) y una cuasi-coherente nilpotent ideal gavilla $\mathscr I$ $X$ (que será entregado por un cuasi coherente nilpotent ideal gavilla $\mathscr I_n$ en cada una de las $X_n$) por lo que no hay cero los elementos de la $A$ dando una sección de $\mathscr I$ (así que si dejamos $I_n$ denotar el ideal de elementos en $A$ que restringir a los elementos de $\mathscr I_n$$X_n$, tenemos $\bigcap_n I_n = 0$).

Tome $A = \mathbb C[x_1,x_2,\ldots]/(x_i x_j^{i+1}, i \neq j).$

Deje $O$ ser el punto de $x_i = 0$ ("el origen") y deje $X = $ Spec $A \setminus \{ O \}.$ Then $X$ is the union of the various "thickened lines" $X_n$, donde $X_n$ es el lugar donde $x_n \neq 0,$ y, por tanto,$x_i^{n+1} = 0$$i \neq n$. Deje $\mathscr I_n$ ser el nilpotent ideal gavilla en $X_n$ generado por $x_i^n$ ($i \neq n$). A continuación,$I_n$, la preimagen de $\mathscr I_n$$A$, es igual a $(x_i^n, i \neq n)$, y la intersección de todos estos $I_n$ es de hecho igual a $0$.

(Estoy bastante seguro de que este es un ejemplo estándar.)