¿Cómo funciona un objeto en rotación causa marco arrastrando?

Question

Marco de arrastre es una consecuencia de la relatividad general.

Pero yo realmente no lo entiendo. Por supuesto que puedo encontrar metáforas como la "miel de la metáfora", donde la agitación de un miel puede mover las manchas, incluso si la cuchara no los toque. Pero no estoy satisfecho con las explicaciones simplistas.

Así que, si he entendido bien objeto en rotación causa una fuerza que empuje a los objetos cercanos en la dirección de rotación. Es que la derecha, o algo pasa?

Es esta una fuerza real? Así que si estoy en la vecindad de un enorme objeto en rotación habría de medir la aceleración como he arrastrado alrededor?

¿Este efecto causado por el mero hecho de la rotación o es causado por las anomalías gravitacionales? Me refiero a que la mayoría de los objetos en rotación no son perfectamente homogéneos rotación de las esferas.

Puede el estrés de la energía tensor de acuerdo con la rotación? Me parece que puede codificar la densidad de energía, momento lineal, la presión y el estrés de cizalla, pero parece ser que no codifican momento angular, se puede?

Answer 1

En primer lugar voy a abordar el estrés del tensor de la pregunta. El momento Angular es codificada en el siguiente tensor: $$M^{\mu\nu\rho}=x^\nu T^{\mu\rho}-x^\rho T^{\mu\nu}$$ Definimos entonces el momento angular del tensor como $$J^{\mu\nu}=\int_\Sigma M^{0\mu\nu}$$ donde la medida en el espacio-como la hipersuperficie $\Sigma$ se entiende. Hay problemas con esto, sin embargo. Esto es debido a que es muy difícil distinguir entre la energía-impulso del campo gravitacional y el material en él. Tomar un fluido perfecto, por ejemplo. El tensor de tensiones contiene la métrica explícitamente! Por lo tanto el tensor de tensiones para un fluido perfecto también contiene gravitacional de la información. Debido a esto, llamando a $J^{\mu\nu}$ un tensor no es realmente correcto. (Debe tenerse en cuenta que la energía-impulso de un campo gravitacional PUEDE ser covariantly definido para un asintóticamente plano múltiple.)

Tu otra pregunta se contesta en el capítulo 7.5 de la Gravedad de Einstein en una cáscara de Nuez por A. Zee (2013). Voy a golpear los puntos clave. Un espacio-tiempo de Kerr es simétrico y por lo tanto tiene una Matanza de vectores $\xi=\partial_\varphi$. Hay un conocido teorema que afirma que si $u$ es la tangente de una geodésica, a continuación, $\langle\xi,u\rangle$ es una cantidad conservada. Definir el ímpetu $p=mu$. A continuación, $L=\langle\xi,p\rangle$ es una constante de movimiento, el momento angular. El general de simetría axial, es métrica $$ds^2=g_{tt}dt^2+g_{rr}dr^2+g_{\theta\theta}d\theta^2+g_{\varphi\varphi}d\varphi^2+2g_{t\varphi}dtd\varphi$$ En las coordenadas, $L=p_\varphi=g_{\varphi t}p^t+g_{\varphi\varphi}p^\varphi$. En el $(-+++)$ convenio estoy usando, $g_{\varphi\varphi}>0$. Positivo momentum angular es cuando el $\phi$ coordinar aumenta con el aumento de tiempo apropiado. Por lo tanto, el momento angular es $+p_\varphi$.

Es convencional para definir $L=ml$. A continuación,$l=g_{t\varphi}\dot{t}+g_{\varphi\varphi}\dot\varphi$. Ir hasta el infinito y preparar una prueba de partículas con $l=0$. Caída hacia el agujero negro. La asintótica de la naturaleza del campo significa que a lo lejos, $g_{t\varphi}\sim0$$g_{\varphi\varphi}\sim1$. Por lo tanto $l=0$$\dot\varphi\sim0$, lo que es de esperar.

Aquí viene lo mejor: el momento angular se conserva. Por lo tanto $l\equiv 0$ de forma idéntica. Pero supongamos que, en nuestro laboratorio en el infinito, echa un vistazo a la prueba de la partícula. Vemos a una velocidad angular $$\omega\equiv \frac{d\varphi}{dt}=\dot\varphi/\punto t=-\frac{g_{t\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}$$ que puede ser totalmente distinto de cero!

No hay ninguna fuerza, técnicamente hablando. La partícula es justo después de una geodésica, que pasa a asumir a lo largo de una ruta con velocidad angular!

EDIT: Encontré esto poco después de la publicación. Supongamos $(M,g)$ es una simetría axial, el espacio-tiempo con angular de la Matanza de vectores $\psi$. El momento angular del espacio-tiempo está dada por la integral Komar $$J=\frac{1}{16\pi}\int_{S^2_\infty}\star d\psi$$ sobre la 2-esfera en el infinito. Consulte la página 466 de Straumann (2013) para una prueba. Ahora elija una hipersuperficie $\Sigma$ tal que $\psi$ es tangente. Entonces $$J=-\int_\Sigma T_{\mu\nu}\psi^\mu n^\nu$$ donde $T_{\mu\nu}$ son las componentes del tensor de tensiones y $n$ es una unidad normal a $\Sigma$. Este es el problema 11.6 en Wald (1984).

EDIT II: me gustaría decir unas pocas palabras acerca de la energía-momentum en GR. (Véase el capítulo 3.7 de Straumann (2013) para el muy completo [y altamente técnica] la discusión.) De la no linealidad de la ecuación de Einstein sabemos que los gravitones tienen una desagradable tendencia a la pareja el uno al otro. Esto significa que en general no es posible separar el tensor de tensiones como $$T=T_\text{matter}+T_\text{gravity}$$ porque gravitones son de acoplamiento para todo y hacer la vida difícil. (Sin embargo, si la métrica es lo suficientemente cerca de la métrica de Minkowski, podemos definir el tensor de tensiones de la gravedad para ser el segundo fin de la expansión del tensor de Einstein. [Cap 10.3 en Weinberg (1972)])

La solución es el llamado formalismo ADM. Permite una covariante descripción de la energía, el impulso y el momento angular en un asintóticamente plano espacio-tiempo. Usamos la notación $$\tau^\alpha=T^\alpha+t_\text{LL}^\alpha$$ donde $T^\alpha$ son el estrés 1-formas y $t_\text{LL}^\alpha$ son de Landau-Lifshitz 1-formas. A continuación definimos $$\star M^{\alpha\beta}=x^\alpha\star\tau^\beta-x^\beta\star\tau^\alpha$$ Entonces $$J^{\mu\nu}=\int_\Sigma\sqrt{-g}\star M^{\mu\nu}$$ es el ADM de momento angular y se conserva si el campo gravitatorio se cae lo suficientemente rápido en spacelike infinito. Tenga en cuenta que $T^\alpha$ es construido a partir del tensor de tensiones y $t_\text{LL}^\alpha$ fuera de la tetrad.

Answer 2

Hay una multitud de maneras de explicar esto ...

1. Piensa acerca de esto en analogía al electromagnetismo: En este contexto, pensar en una distribución de cargas en reposo con respecto a cada uno de los otros. Hay un especial de Lorentz marco donde no hay campo magnético, es decir, cuando está en reposo con respecto a la distribución de carga. Ahora, tomar una carga de prueba, y se mantenga inmóvil con respecto a la distribución de carga. Obviamente, esto requiere una fuerza de $F$. Ahora, mira a esta situación desde una impulsado marco. Aquí, habrá un campo magnético, y la distribución de carga será de Lorentz contratado. Resulta que el campo magnético va a surgir precisamente de la forma necesaria para hacer de la fuerza de transformar correctamente entre los dos marcos. En la relatividad general, que, obviamente, puede tener la misma situación-una línea de masa puede ejercer una fuerza de $F$ sobre un objeto estacionario en un fotograma y, a continuación, usted puede Lorentz impulsar el marco. Para evitar una contradicción, un "magnético" de la fuerza gravitacional debe surgir. Resulta que esta fuerza es precisamente lo que sucede cuando usted marco de arrastre.
2. Impulso de schwarzschild: Si desea más concreto modelo, no hay un sistema de coordenadas donde la métrica de Schwarzschild puede ser escrita como: $$g_{ab} = \eta_{ab} + C \ell_{a}\ell_{b}$$ donde $\ell_{a} = (-1,1,0,0)$, $\eta_{ab} = {\rm diag}(-1,1,r^{2},r^{2}\sin^{2}\theta)$ y $C = 2M/r$ Esto es conveniente porque usted tiene un fondo de la métrica de Minkowski, y tiene el bit de la métrica que depende de la métrica de Schwarzschild. Por lo tanto, cuando usted Lorentz impulsar la métrica, no transformar la métrica de Minkowski. Por lo tanto, la aplicación de una matriz de Lorentz para esta métrica se le da la Schwarzchild métrica como se observa por un relativistically observador en movimiento. Incluso este sencillo ejemplo se muestran entonces que la moción va a involucrar a las fuerzas que tiran de la prueba de partículas en la dirección de la distribución de la materia -- $g_{ti}$ recogerá r-dependiente de términos, que le dirá que un observador cerca del agujero negro tiene un marco del resto que está en movimiento con respecto a un observador en el infinito
3. analizar directamente la métrica de Kerr: Finalmente, podemos ingenuamente vistazo a la métrica de Kerr. Aquí, vamos a tener, en Boyer-Lindquist coordenadas, $g_{t\phi}$ términos. Estos términos nos dicen que una timelike observador cerca del agujero negro va a tener su tiempo a coordinar desplazado con respecto a un timelike observador lejos del agujero negro, mi noción de "estacionaria con respecto al "agujero negro" dependerá de qué tan lejos del agujero que yo soy. De hecho, hay una superficie llama la erogosphere más allá del cual es imposible para mí para ser estacionaria con respecto al infinito ... en fin para mi camino a permanecer timelike, voy a TENER que recoger el movimiento con respecto al infinito.

Pero no importa cómo se explica, tenga en cuenta que si esto es o no es una "fuerza" depende de lo que estamos tratando de hacer. Si sólo estás a la deriva a lo largo de una geodésica, usted nunca se sentirá una fuerza. Si yo estoy tratando de hacer algo parecido a permanecer en reposo con respecto al infinito, a pesar de que, sí, voy a tener que ejercer una fuerza (o para el caso de un observador más allá de la erogsphere pero fuera del horizonte, voy a ser incapaz de hacerlo, incluso con una infinita fuerza)

Answer 3

Marco arrastrando tiene diferentes pero, por supuesto, estrechamente relacionados con los significados en la literatura.

Sin embargo, hay un par de otros canónica de significados que vale la pena mencionar. En Kerr espacio-tiempo que uno tiene un tiempo-como la Matanza de campo $\xi^{\alpha}$ y una axial campo de muerte $\psi^{\alpha}$. La congruencia de observadores $u^{\alpha} = \xi^{\alpha}/|\xi|$ siguiente órbitas de $\xi^{\alpha}$ son de curso de los observadores que están en reposo con respecto a la masa central y por lo tanto están en reposo con respecto a la asintótica de Lorentz marco espacial infinito en el que la central de masa está en reposo.

Tienen una fuga de la velocidad angular, $\omega = \frac{d\phi}{dt} = 0$, en relación al infinito; aquí $t$ $\phi$ son el tiempo y las coordenadas angulares definido por $\xi^{\alpha}$ $\psi^{\alpha}$ respectivamente. Pero tienen un no-desaparición de momento angular $L = u_{\alpha}\psi^{\alpha} \neq 0$. Esto puede ser interpretado en términos del efecto Sagnac es decir, si el observador estuviera a enviar rayos de luz en direcciones opuestas alrededor del mismo circuito que luego volvían a diferentes tiempos en el observador del reloj (Ashtekar y Magnon 1975). Este es un sentido en el que el observador no está girando con respecto a infinito, pero girando con respecto a los locales de la geometría espacio-tiempo debido a que el observador se encuentra el $\phi$ $-\phi$ direcciones nonequivalent. Puesto que esto es debido únicamente a causa de la rotación del espacio-tiempo, se puede considerar que este marco arrastrando.

Además, si cualquiera de estos observadores lleva a un conjunto de ejes espaciales $e_i$ que se fija con respecto al infinito, de modo que la Mentira derivado $\mathcal{L}_{\xi}e_i = 0$, entonces se puede demostrar que $$F_{u}e^{\alpha}_i = -(\xi_{\delta}\xi^{\delta})^{-1}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\sigma}\xi_{\beta}\nabla_{\gamma}\xi_{\sigma} \neq 0$$ where $F_u$ is the Fermi-Walker derivative along $u$; véase, por ejemplo, Lightman et al problema 11.10. Lo que esto significa es que a pesar de los ejes espaciales se fija con respecto a la asintótica de Lorentz marco, sin embargo precede en relación a un conjunto de inercia de orientación giróscopos comoving con el observador.

Desde $\xi_{[\beta}\nabla_{\gamma}\xi_{\sigma]} \neq 0$ si y sólo si el espacio-tiempo es estacionaria, pero no estática, que intuitivamente significa que el espacio-tiempo está girando, esta es otra manifestación de marco de arrastre: la rotación del espacio-tiempo hace que el estándar local de la no-rotación diferente de la norma mundial de la no-rotación relativo al infinito. Este efecto puede ser interpretado como una gravitomagnetic efecto como se ha señalado por Jerry Schirmer: el inmóvil giroscopio parejas a la gravitomagnetic campo generado por la rotación de la masa central y precesses parecido a cómo una cargada momento dipolar en un campo magnético precesses.

Como un aparte, vale la pena señalar que esta noción de no-rotación en general, no es el mismo que el prescrito por el efecto Sagnac. Para ilustrar esto, considere ahora la congruencia de cero, el momento angular de los observadores (ZAMOs) $u^{\alpha} = \nabla^{\alpha}t/|\nabla t|$. Se denominan de este curso debido a $L = 0$ idéntica para que la congruencia como es fácil de comprobar. Uno puede escribir $\nabla^{\alpha}t = \xi^{\alpha} + \omega(r,\theta)\psi^{\alpha}$ donde $\omega(r,\theta) = -g_{t\phi}/g_{\phi\phi}$. En otras palabras, el ZAMOs en la órbita de la masa central con exactamente la velocidad angular necesaria para estar en reposo con respecto a los locales de la geometría espacio-tiempo, en el sentido descrito anteriormente.

Considere ahora el tiempo-como la Matanza de campo $\eta^{\alpha} = \xi^{\alpha} + \omega(r_0,\theta_0)\psi^{\alpha}$ fijos $r_0,\theta_0$. Esto describe una congruencia de observadores que coincide con el VER la congruencia en $r_0,\theta_0$. Considerar también VER en $r_0,\theta_0$ la realización de un conjunto de ejes espaciales $e_i$ adaptada al espacio-tiempo de simetrías. El resultado anterior para $F_u e_i$ puede ser extendido fácilmente a cualquier momento-como la Matanza de campo, del que se desprende después de un cálculo que $$F_{u}e^{\alpha}_i|_{(r_0,\theta_0)} = -(\eta_{\delta}\eta^{\delta})^{-1}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\sigma}\eta_{\beta}\nabla_{\gamma}\eta_{\sigma}|_{(r_0,\theta_0)} \neq 0$$ Véase, por ejemplo, MTW problema 33.4.

Por tanto, aunque un individuo VER no tiene momento angular, el observador espacial de los ejes todavía precede relativa a los locales de los giroscopios. Por lo tanto cuando se encuentra en las declaraciones en la literatura acerca de cómo el VER elimina marco de arrastre es, en realidad, en el sentido que acabo de cero, el momento angular.