¿Qué es una partícula matemáticamente?

Question

En la teoría cuántica de campos, ¿qué es matemáticamente una partícula?

¿Cómo explicarías a alguien que sabe muchas matemáticas pero no física lo que es una partícula?
Un simple modelo de ejemplo sería suficiente.

Answer 1

Una posible respuesta es "una representación unitaria irreducible del grupo de Poincar'e para la cual los eigenspaces de los generadores de traslación son de dimensión finita". (Al menos, este es el espacio de estados de una sola partícula de un solo tipo).

No es una respuesta perfecta, porque no todas las QFT son relativistas (ni tampoco todas las QFT tienen partículas), pero espero que sea útil.

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Un poco más de razonamiento por qué: Las traducciones son mutuamente conmutables, así que escoge una base donde todas sean diagonales. Esto etiqueta los estados por su momento y energía. Se puede hacer esto para cualquier estado, pero el estado de una partícula se distingue por tener sólo un número finito de grados de libertad. Por eso el "finito-dimensional" está ahí. El "irreducible" está ahí porque si no puedo rotar/pasar de un conjunto de estados a otro, no hay un sentido claro en el que sean lo mismo: son diferentes tipos de partículas.

Obsérvese que esto incluye los estados ligados (como el estado básico del átomo de hidrógeno) en el mismo plano, como partículas individuales por derecho propio. Esto es sensato porque no es necesario que haya una definición clara de lo que es una "partícula elemental": este concepto hace referencia a algún límite libre, que no tiene por qué existir].

Por qué las simetrías requieren representaciones unitarias:

• Los estados de un sistema cuántico viven en el espacio proyectivo de Hilbert
• Una simetría es un mapa invertible entre estados que preserva el módulo de los productos internos, que son importantes por su relación con las cantidades medibles
• Teorema de Wigner: cualquier simetría puede elevarse a un operador unitario o antiunitario en el espacio de Hilbert
• En consecuencia, un grupo de simetrías tendrá una representación (proyectiva) en el espacio de Hilbert. Para la parte conectada de un grupo de Lie, será unitaria (¡la identidad es unitaria!)

Answer 2

En los Principios de la Mecánica Cuántica de Dirac (3E), una partícula en un punto x está representada por un operador lineal específico $\eta_x$ aplicada a un estado de reposo $|0\rangle$ . Así, si el sistema está en el estado $\eta_x|0\rangle$ hay una partícula en x; si está en el estado $\eta^{-1}_x|0\rangle$ hay una antipartícula en x; y si el sistema está en el estado $\eta_y\eta_x|0\rangle$ hay partículas en x e y.

Edición: Esto es realmente estándar. La teoría cuántica de campos considera las partículas como una perturbación de un estado básico, lo que significa que actúan como operadores lineales sobre un estado fijo. Los enlaces en los comentarios simplemente muestran que las partículas localizadas no pueden ser detectadas experimentalmente. Pero esto no cambia el marco matemático; de hecho, se explica en el marco diciendo que el vacío no es estable, por lo que los estados cercanos al vacío tienen muchas pequeñas fluctuaciones, lo que se interpreta como que se crea y destruye un gran número de partículas.

Mucha gente confunde la filosofía pseudocientífica con la física real. En la física real, se encuentra un modelo idealizado que se puede probar experimentalmente y se ignoran las preguntas sobre "¿cómo es la realidad realmente?"

Así, en el modelo matemático, las partículas se describen como operadores, lo que da buenos resultados experimentales.