¿Cómo se puede demostrar que $\zeta(3)$ es irracional?

Question

¿Cómo se puede demostrar que $\zeta(3)$ ¿es irracional?

Me gustaría saber cómo lo hizo Apery. En particular, ¿cómo una recursión da lugar a la irracionalidad?

Answer 1

La cuestión es que si $\alpha\in\mathbb{Q}^+$ y $C>2$ hay a lo sumo un número finito de números racionales $\frac{p}{q}$ tal que: $$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\leq\frac{1}{q^C}. \tag{1}$$ Por lo tanto, si $\left\{\frac{p_n}{q_n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia de aproximaciones racionales de $\zeta(3)$ tal que $(1)$ se mantiene para cada elemento de la secuencia, $\zeta(3)\not\in\mathbb{Q}$ . El problema se reduce a encontrar "buenas" aproximaciones para $\zeta(3)$ . Esto puede hacerse, más o menos, considerando una secuencia de integrales: $$I_n = \int_{-1}^{1} P_n(x)\,f(x)\,dx = \zeta(3)-\frac{p_n}{q_n} \tag{2}$$ donde $P_n$ es un polinomio de Legendre. Estimar el tamaño del LHS no es una tarea difícil, pero para estimar el tamaño de $q_n$ También es muy útil saber que $q_1,q_2,\ldots$ satisfacen alguna fórmula recursiva. Dada la fórmula, podemos calcular la magnitud de $q_n$ y esperar que $(1)$ se mantiene para algunos $C>2$ y para un número infinito de $n\in\mathbb{N}$ , demostrando la irracionalidad.

Esto está lejos de ser un enfoque algorítmico: hay muchos casos conocidos en los que algo va mal: la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ el siguiente valor interesante del $\zeta$ función, $\zeta(5)$ y así sucesivamente.

Apery era muy aficionado a su prueba, y podemos imaginar por qué: es casi un milagro.