He oído que cuando uno lanza una parábola sobre una línea recta, el enfoque de las trazas de una catenaria. Yo seguía tratando de encontrar una prueba en el Internet, pero no dados. ¿Cómo hace uno para demostrar que esto es cierto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vamos a rodar. :)
Derivando las ecuaciones paramétricas de una recta de la línea de la ruleta no es muy complicado. Como mencioné en la anterior respuesta, el balanceo es mejor descomponerse como una rotación y una traslación. Para este caso, voy a tomar la línea recta en el eje horizontal.
Vamos a empezar de nuevo con una cómoda parametrización de la parábola:
$$\begin{pmatrix}2at\\at^2\end{pmatrix}$$
donde $a$ es la longitud focal (la distancia desde el vértice al foco). El enfoque de esta parábola está en el punto de $(0,a)$.
También se requiere el arclength función de esta configuración de parámetros de la parábola: $s(t)=a(t\sqrt{1+t^2}+\mathrm{arsinh}(t))$.
El truco para rodar una parábola es considerar las transformaciones necesarias para un punto de la parábola que tocar un punto apropiado en la línea recta se está rodando. La parametrización de la que he elegido es particularmente conveniente, en la que el vértice de la parábola ya toca el eje horizontal en el origen.
En adelante, podemos traducir la parábola para ser lanzado de manera que la intención de punto de contacto coincide con el origen. Nosotros, a continuación, realizar una rotación tal que la parábola es ahora la tangente con el eje horizontal, y luego horizontalmente traducir por una cantidad igual a la parábola del arclength. (Similar derivación se realiza para la cicloides.)
Matemáticamente, podemos realizar esta secuencia de transformaciones en el punto de $(0,a)$; aquí está la traducción:
$$\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2at\\at^2\end{pmatrix}$$
La rotación, entonces necesaria está dada por el número de radios de ángulo de rotación de la matriz. Yo derivada de la expresión de la parábola en mi respuesta anterior, así que no voy a repetir aquí. La única diferencia con la anterior respuesta es que para ir hacia adelante, se requiere una rotación en sentido horario, y por lo tanto se debe transponer la tangencial de ángulo de rotación de la matriz. Esto nos da ahora
$$\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{1+t^2}}&\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\\-\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}&\frac1{\sqrt{1+t^2}}\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2at\\at^2\end{pmatrix}\right)$$
Finalmente, se traducen en horizontal con la arclength expresión dada anteriormente:
$$\begin{pmatrix}a(t\sqrt{1+t^2}+\mathrm{arsinh}(t))\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{1+t^2}}&\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\\-\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}&\frac1{\sqrt{1+t^2}}\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2at\\at^2\end{pmatrix}\right)$$
Las ecuaciones paramétricas para la ruleta sorprendentemente simplificar a
$$\begin{align*}x&=a\operatorname{arsinh}(t)\\y&=a\sqrt{1+t^2}\end{align*}$$
Eliminando el parámetro de $t$ los rendimientos de los habituales de la ecuación de la catenaria, $y=a\cosh\frac{x}{a}$.
Aquí hay una imagen que me hizo anteriormente:
Una similar derivación puede ser hecho para demostrar que la directriz de la misma rolling parábola sobres de una reflexión sobre el eje horizontal de la catenaria está siendo rastreado por el foco.
