La pregunta va como esto - Deje $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ ser una función derivable. Mostrar que $f'(x)$ tiene una continuidad punto.
Gracias por la ayuda!
Respuesta
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Aquí están algunos pensamientos.
1) un teorema de Baire (de acuerdo a uno de mis viejos libros de texto): Vamos a $(X,\mathcal{T})$ ser un espacio topológico y $f_n$ ser una secuencia de funciones continuas $f_n : X \to \Bbb{R}$ con la propiedad de que existe $f:X \to \Bbb{R},$ $$ f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x),\ \forall x \in X.$$
[editar] Una buena referencia para este (asumiendo $X$ es metrizable) es de Ch. 24.B de Kechris del Clásico descriptivo de la teoría de conjuntos (p 192ff), dada por Theo Buehler en los comentarios. Muchas gracias. Mi fuente de libros de texto es muy antiguo y no se conoce fuera de mi universidad.
Entonces el conjunto $D(f)$ de los puntos de discontinuidad de la función $f$ es de primera categoría de Baire tipo (es un contable de la unión de los conjuntos de $E$$\text{int}(\text{cl}(E))=\emptyset$; int es interior, cl es la clausura).
2) $[0,1]$ con el estándar de la topología no es un espacio de la primera categoría, debido a que cada espacio métrico es un espacio de Baire.
3) Vamos a
$$ f_n: [0,1] \a \Bbb{R},\ f_n(x)=\begin{cases} \frac{f(x+\frac{1}{n})-f(x)}{\frac{1}{n}},\ \ x \in \Bigl[0,1-\frac{1}{n}\Bigr]\\ \frac{f(1)-f(1-\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}},\ \ x \in \Bigl[1-\frac{1}{n},1\Bigr] \end{casos}$$
La secuencia de funciones continuas $f_n$ convergen pointwise a$f'$$[0,1]$. Por los dos primeros puntos, el conjunto de puntos de discontinuidad de $f'$ no puede ser toda la $[0,1]$.
