Es $\sqrt{64}$ considerado $8$ ? o es $8,-8$ ?

Question

El año pasado, en Pre-Álgebra, aprendimos sobre las raíces cuadradas. Entonces me enseñaron que $\sqrt{64}=8$ y $\sqrt{100}=10$ que entendí y acepté. También me enseñaron que $\pm\sqrt{64} = 8,-8$ porque ambos números elevados al cuadrado son 64, lo que también consigo. Pero este año, con una nueva escuela y profesor en un estado diferente, nuestro profesor nos dice que: $\sqrt{64}=8,-8$ y $\pm\sqrt{64}$ también es $8,-8$ . La forma de obtener la raíz positiva de algo es: $+\sqrt{64}=8$

Y estos parecen contradecirse entre sí. Siempre me enseñaron que una raíz cuadrada regular devolvía un número positivo y sólo un número positivo, pero ahora mi profesor dice que una raíz cuadrada regular da dos números, y considerando la raíz cuadrada de un número $n$ se define como $y^2=n$ Veo de dónde viene.

Al investigar esto Wikipedia dice:

Por ejemplo, $4$ y $4$ son raíces cuadradas de $16$ porque $4^{2} = (4)^{2} = 16$

Y Wolfram MathWorld dice:

Observe que cualquier número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por ejemplo, las raíces cuadradas de $9$ son $-3$ y $+3$

Pero en el otro lado, Wolfram Alpha, cuando se le da "La raíz cuadrada de 9" da sólo 3.

Entonces, ¿cuál es la correcta? ¿Es $\sqrt{64}$ considerado $8$ ? o es $8,-8$ ?

Answer 1

Tu nuevo profesor se equivoca. $\sqrt{\cdot}$ es el operador de raíz cuadrada principal . Esto significa que sólo devuelve la raíz principal, la positiva. $\sqrt{64}=8$ . NO es igual a $-8$ .

Por otro lado, la ecuación $64=x^2$ HACE tienen $2$ soluciones: $x=8$ o $x=-8$ . Por lo tanto, ambos $8$ y $-8$ son raíces cuadradas de $64$ .

Veamos qué ocurre cuando tomamos la raíz cuadrada principal de ambos lados de esta ecuación: $$\begin{align}64 &= x^2 \\ \implies \sqrt{64} &= \sqrt{x^2} \\ \implies 8 &= |x| \\ \implies x&=8 \text{ or } x=-8\end{align}$$

Por lo tanto, el hecho de que la operación de raíz cuadrada principal arroje la raíz negativa no es un gran problema, ya que las matemáticas siguen funcionando correctamente.

Answer 2

Tus dos profesores tienen razón. Es sólo una cuestión de notación.

El primer profesor define $\sqrt{x}$ como el número no negativo que al multiplicarse por sí mismo es igual a $x$ si es que lo hay.
Su segundo profesor define $\sqrt{x}$ como los números que al multiplicarse por sí mismos son iguales a $x$ si es que lo hay.

Esto significa que están utilizando el mismo símbolo $\sqrt{x}$ para transmitir diferentes conceptos.
Sería mejor que todos utilizaran las mismas palabras y símbolos para los mismos conceptos. Pero en las matemáticas, como en otras cuestiones de la vida, hay personas que utilizan la misma palabra o símbolo para conceptos diferentes.

Dado que él es el profesor, tendrás que respetar su autoridad en cuanto a la elección de la notación. No hay una ganancia significativa entre una u otra notación, pero es muy importante elegir una notación para que todos estén en la misma página. Y el que elige la notación en un entorno académico será el profesor. Es lamentable que distintos profesores de una misma institución elijan notaciones diferentes, pero habrá que vivir con ello.

Answer 3

$\sqrt{\cdot}:[0,\infty)\to [0,\infty)$ es una función que a cada $x\ge0$ asigna un $y\ge 0$ tal que $y^2=x$ . Otra cosa muy distinta es el conjunto de soluciones de la ecuación $x^2=9$ por ejemplo. De hecho, la única razón por la que tenemos una función de raíz cuadrada canónica en $\mathbb{R}$ es porque $\mathbb{R}$ se suele considerar que tiene un orden total $<$ que te permite elegir una solución de la ecuación $x^2=9$ . Si sólo hicieras álgebra (es decir, sin relación de orden), $\sqrt{\cdot}$ puede no ser definible.

Answer 4

Yo tenía exactamente el mismo problema cuando era más joven. Con el tiempo, me enseñaron que si resuelves un $\color{blue}{\mathrm{equation}}$ que contiene un variable desconocida diga $x$ ; como por ejemplo: $$x^2=81$$ Entonces la ecuación tiene soluciones dadas por $x=9$ y $x=-9$ .

Pero si sólo te dan la $\color{red}{\mathrm{expression}}$ : $$\sqrt{81}$$ entonces la expresión sólo puede reducirse a $9$ (No $-9$ ).

Así que el número de soluciones se simplifica realmente a si el radical en cuestión pertenece a un $\color{blue}{\mathrm{equation}}$ o un $\color{red}{\mathrm{expression}}$ donde este último sólo tomará el principio raíz.

Answer 5

Esa convención, en la que $\sqrt{u}$ es el set de $y$ con $y^2 = u$ se utiliza a veces para hacer reversibles (más) pasos en una derivación algebraica. Esto se encuentra con la complicación de que hay que permitir las raíces cuadradas complejas cuando $u < 0$ o para asegurarse también de que la lógica puede manejar correctamente el caso en el que el conjunto está vacío, pero en principio puede establecerse de forma coherente y bien definida. De la misma manera, las funciones inversas pueden manejarse como valoradas por el conjunto.

Podría decirse que ésta es la forma correcta, ya que no hay una forma algebraicamente natural de privilegiar una raíz cuadrada sobre la otra, o incluso de poder distinguir las gemelas sin información adicional. La razón para canonizar la raíz cuadrada positiva de los números reales positivos es que este caso es el más frecuente y es una convención fácil de recordar.