Se dice que David Hilbert comentó que la teoría de la multiplicación compleja de las curvas elípticas no sólo era la parte más bella de las matemáticas, sino de toda la ciencia.
Tal y como pedía el título. No estoy familiarizado con la multiplicación compleja. Quiero saber alguna comprensión intuitiva de ese concepto.
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La multiplicación compleja es una hermosa generalización de la ciclotomía --- la teoría de los campos ciclotómicos y áreas relacionadas.
La ciclotomía fue uno de los temas que Gauss desarrolló en Disquitiones . Algunos de los puntos clave son:
Los valores del función trascendental $e^z$ en los puntos de división (es decir, de torsión) $z = \dfrac{2\pi i}{n}$ de $\mathbb C/2 \pi i \mathbb Z$ son enteros algebraicos (es decir $n$ las raíces de la unidad $\zeta_n$ ).
El polinomio mínimo del $\zeta_n$ es abeliano (es decir, tiene un grupo de Galois abeliano) sobre $\mathbb Q$ .
Todas las extensiones abelianas de $\mathbb Q$ son generados por estos valores.
Este último hecho, aplicado a las extensiones cuadráticas de $\mathbb Q$ puede utilizarse para derivar la reciprocidad cuadrática.
La teoría de la CM tiene una estructura similar. Permítanme describirla aquí sólo para el campo $K =\mathbb Q(i)$ .
Si $\Lambda$ denota la red cuadrada en $\mathbb C$ , convenientemente escalado, entonces los valores de la función trascendental $\wp(z;\Lambda)$ (el Weierstrass $\wp$ -para la red $\Lambda$ ) en los puntos $z = \lambda/n$ para $\lambda \in \Lambda$ (que son los $n$ -división, o $n$ -torsión, puntos de $\mathbb C/\Lambda$ ) son enteros algebraicos.
Los polinomios mínimos de estos enteros algebraicos sobre $\mathbb Q(i)$ son abelianas.
Todas las extensiones abelianas de $\mathbb Q(i)$ pueden ser generados por estos particulares enteros algebraicos.
Este último hecho puede relacionarse con las leyes de reciprocidad (por ejemplo, la reciprocidad bicadrática) en $\mathbb Q(i)$ .
Así, la teoría de la CM relaciona la teoría de las funciones trascendentales (más particularmente, la teoría de las funciones elípticas) y la teoría algebraica de los números de una manera sorprendente. El hecho de que áreas aparentemente tan diferentes y dispares de las matemáticas estén conectadas por la teoría es uno de sus atractivos, y estoy seguro de que esto es parte (tal vez una gran parte) de la motivación detrás de la declaración de Hilbert.
Se puede observar que cuando Langlands empezó a escribir documentos explicando sus expectativas sobre la aritmética de las variedades de Shimura, una generalización generalización de todo lo descrito anteriormente --- tituló una de las primeras exposiciones de sus ideas Algunos problemas contemporáneos de los orígenes en el Jugendtraum (Kronecker's Jugendtraum fue desarrollar la teoría de la CM). Menciono esto como otra indicación que la teoría de la CM, basada en la teoría de la ciclotomía sobre $\mathbb Q$ sigue siendo considerado como un modelo de cómo las teorías de las formas automórficas, las variedades algebraicas y la teoría algebraica de los números deben relacionarse entre sí mediante leyes de reciprocidad.
Escribiré algo, probablemente incompleto, y espero que alguien más capaz que yo rellene los huecos.
Empecemos por el principio: campos numéricos son extensiones finitas del campo racional $\mathbb Q$ . Para cada una de estas extensiones $K/\mathbb Q$ podemos asociar un grupo, llamado grupo de clase que miden más o menos lo cerca que está el anillo de enteros en $K$ es a ser un Dominio de Factorización Única. En particular, cuando hablamos de extensiones abelianas de $\mathbb Q$ queremos decir que el grupo de clase el grupo de Galois $\mathrm{Gal}(K/\mathbb Q)$ es un grupo abeliano.
Ahora resulta que las extensiones abelianas de $\mathbb Q$ tienen una muy buena caracterización, a través de la Teorema de Kronecker-Weber :
Todas las extensiones abelianas de $\mathbb Q$ son subcampos de un campo ciclotómico $\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q$ .
El problema es que, esto sólo es válido para extensiones abelianas de la racionales . La siguiente pregunta a la que intentaron responder los teóricos del número en el siglo XIX es:
¿Cómo podemos extender esto al siguiente caso más sencillo, el de los campos cuadráticos?
Recordemos que todos los extensiones cuadráticas de $\mathbb Q$ son de la forma $\mathbb Q(\sqrt{d})$ , donde $d$ es un entero libre de cuadrados. Si es positivo obtenemos un campo cuadrático real si es negativo, un campo cuadrático imaginario . La teoría de la multiplicación compleja es, por tanto, una forma de generalizar el teorema de Kronecker-Weber a los campos cuadráticos imaginarios. Pero se puede preguntar, ¿dónde entran las curvas elípticas? A través de lo siguiente teorema :
Dejemos que $E$ sea una curva elíptica sobre $\mathbb C$ . Entonces el anillo de endomorfismos de $E$ es $\mathbb Z$ o isomorfo a un pedir en un campo cuadrático imaginario.
Por lo tanto, las curvas elípticas con CM (es decir, cuyo anillo de endomorfismos es mayor que $\mathbb Z$ ) están conectados a campos cuadráticos imaginarios. Además, para cualquier campo de este tipo y cualquier orden $\mathcal O$ en ella, existe una curva elíptica $E$ tal que $End(E)\cong\mathcal O$ . Y esto es, de alguna manera, el primer paso para generar todas las extensiones abelianas de los campos imaginarios cuadráticos (un poco para ir más allá se necesitaría teoría de campos de clases).
En conclusión La razón por la que Hilbert era tan aficionado a la teoría de la Multiplicación Compleja es probablemente que da una solución bastante elegante al problema de "extender" el teorema de Kronecker-Weber a campos cuadráticos imaginarios.
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