¿Tiene sentido definir $ \aleph_{\infty}=\lim\limits_{n\to\infty}\aleph_n $? Es su cardinalidad "infinitamente infinito"?

Question

Recientemente he leído un libro sobre el infinito, que introdujo los conceptos básicos de los diferentes tipos de infinito. Soy un total laico con respecto a este tema, y una pregunta que me fascinó:

Podemos, en cierto sentido, definir: $$ \aleph_{\infty}=\lim_{n\to\infty}\aleph_n $$ De tal manera que no existe un conjunto cuyo cardinal es $\aleph_{\infty}$, es decir, cuya cardinalidad es infinitamente infinito?

Answer 1

Hay dos sentidos de "número infinito" en el juego aquí: ordinales y cardinales. A grandes rasgos, los números cardinales de la cuenta "cuánto" y ordinales de la cuenta "que paso en una progresión". El $\aleph$-los números son cardenales. Contando $\aleph_0$, $\aleph_1$, $\aleph_2$, etc., podemos ver que los subíndices son ordinales, sin embargo. Como el $\aleph$ números nos dan nuestros infinito cardenales, tenemos infinidad de los números ordinales, también. Si tenemos en recuento $0,1,2,\ldots$, hay un infinito número ordinal que viene "siguiente" después de todos los números naturales; nosotros la llamamos $\omega$. Usted puede seguir adelante y conseguir $\omega + 1,\omega + 2,\omega+3,\ldots,\omega+\omega$, etc. El $\aleph$ números de seguir adelante en este mismo sentido: después de $\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\ldots$, obtenemos $\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\aleph_{\omega+2},\ldots,\aleph_{\omega+\omega}$, y así sucesivamente.

Answer 2

$\aleph_0$ es la cardinalidad de un conjunto finito de números ordinales $0,1,2,3,4,\ldots$,

$\aleph_1$ es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales de cardinalidad $\le\aleph_0$.

$\aleph_2$ es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales de cardinalidad $\le\aleph_1$.

$\aleph_3$ es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales de cardinalidad $\le\aleph_2$.

y así sucesivamente.

$\aleph_\omega$ es la cardinalidad del conjunto de todos los ordinales de cardinalidad $\aleph_n$ algunos $n$. Este es el más pequeño número cardinal $\ge\aleph_n$ por cada número ordinal finito $n$. $\omega$ es el más pequeño infinito número ordinal.

Answer 3

Respuesta corta: sí tiene sentido, pero voy a ajustar su notación (aviso $\aleph_0\subseteq\aleph_1\cdots\subseteq\aleph_n$) $$ \aleph_\infty\overset{\mathrm{def}}{=}\lim_{n\to \infty}\aleph_n=\bigcup_{n=0}^\infty\aleph_n\overset{?}{=}\aleph_\omega $$ El ? serán abordados en el tiempo de respuesta. La cardinalidad es de $\aleph_\omega $.

Respuesta Larga:

Prerrequisito(s): números ordinales, bien formado fórmulas

Teorema (de la Recursión Transfinita): Para cada fórmula $\phi(x,y)$, si para cada una de las $x$, no existe un único $y$ tal que $\phi(x,y)$ se mantiene, entonces existe una fórmula $\Phi(\alpha,z)$ tal que para cada ordinal $\alpha$, no existe un único $z$ tal que $\Phi(\alpha,z)$ mantiene, y para cada ordinal $\alpha$ y para cada función $f$ tal que $$\mathrm{domain}(f)=\alpha\qquad\text{and}\qquad \Phi(\beta,f(\beta))$$ para cada $\beta\in\alpha$, y para cada una de las $z$, $$\phi(f,z)$$ si y sólo si $\Phi(\alpha,z)$ mantiene.

Definición Deje $\Phi(\alpha,z)$ ser una fórmula tal que para cada ordinal $\alpha$, no existe un único $z$ tal que $\Phi(\alpha,z)$ mantiene, y para cada ordinal $\alpha$ y para cada función $f$ tal que $$\mathrm{domain}(f)=\alpha\qquad\text{and}\qquad\Phi(\beta,f(\beta))$$ para cada $\beta\in\alpha$, y para cada una de las $z$, $$\text{$z$ is the least infinite cardinal strictly greater than every element of $\mathrm{rango}(f)$}$$ si y sólo si $\Phi(\alpha,z)$ mantiene. Deje $\alpha$ ser un ordinal. Aleph número-$\alpha$ (o aleph- $\alpha$) $z$ tal que $\Phi(\alpha,z)$ mantiene.

La notación Deje $\alpha$ ser un ordinal. "$\aleph_\alpha$" es la notación para "aleph-$\alpha$."

Comentario

• Para todos los ordinales $\alpha$ $\beta$ si $\alpha<\beta$, $\aleph_\alpha<\aleph_\beta$
• Aleph-$0$ es el menos infinito cardenal
• Aleph-$1$ es el menos incontables cardenal
• Para cada ordinal $\alpha$, $\aleph_{\alpha+1}=\aleph_\alpha^+$ (el menor cardinal mayor que $\aleph_\alpha$)
• Para cada límite ordinal $\gamma$, $\aleph_\gamma=\bigcup_{\beta\in\gamma}\aleph_\beta$ (aviso de $\omega=\{0,1,2,\ldots\}$ es un ordinal límite, que aborda ? en la respuesta corta)
• Para cada ordinal $\alpha$, $\alpha\le\aleph_\alpha$
• Para cada uno de los infinitos cardenal $\kappa$, existe un ordinal $\eta$ tal que $\kappa=\aleph_\eta$.

Answer 4

"Infinitamente infinito" es bastante vago/mal definida plazo.

Espero que esto responda a su pregunta de alguna manera:

Tiene una infinitud de los números cardinales, este hecho está determinado por completo por el Cantor del teorema:

Consideremos el conjunto a $\Bbb N$, cuya cardinalidad es $\aleph_0$. Ahora, por Cantor del teorema $|\Bbb N|=\aleph_0<2^{\aleph_0}= P(\Bbb N)$.

Ahora, considere la secuencia de $$A_0=\Bbb N \\ A_n=P(A_{n-1})$$

Se puede comprobar que cada conjunto tiene cardinalidad estrictamente mayor que el de antes.