Comprobación del logaritmo de la desigualdad.

Question

Cuál de las siguientes es verdadera.

$(a.)\ \log_{17} 298=\log_{19} 375 \quad \quad \quad \quad (b.)\ \log_{17} 298<\log_{19} 375\\ (c.)\ \log_{17} 298>\log_{19} 375 \quad \quad \quad \quad (d.)\ \text{no puede ser determinada} $

$17^{2}=289 $ tiene una diferencia de $9$ $19^{2}=361$ tiene una diferencia de $14$ .

Yo no soy consciente de que cualquier método si está allí para comprobar este tipo de problemas,

También prefiero un método sin cálculo a menos que sea necesario.

Busco una breve y sencilla .

He estudiado matemáticas a a $12$th grado.

Answer 1

Deje $x=\log_{17}{298}, y=\log_{19}{375}$.

Por definición de logaritmos,

$17^x = 298$ $19^y=375$

Así

$17^{x-2} = \dfrac{298}{289} = 1 + \dfrac{9}{289} \tag{1}$ $19^{y-2}=\dfrac{375}{361} = 1 + \dfrac{14}{361} \tag{2}$.

Ahora tomar logaritmos naturales

$(x-2)\ln{17} = \ln(1+\dfrac{9}{289}) \approx \dfrac{9}{289} \tag{3}$ y $(y-2)\ln{19} = \ln(1+\dfrac{14}{361}) \approx \dfrac{14}{361} \tag{4}$

De $\ln{19} \approx \ln{17}(1+\frac{2}{17})$ $\dfrac{14}{361} \times \dfrac{17}{19} \gg \dfrac{9}{289}$

podemos decir $\dfrac{\frac{14}{361}}{\ln{19}} > \dfrac{\frac{9}{289}}{\ln{17}}$

A continuación, por las ecuaciones (3), (4) tenemos $y-2 > x-2$ o $\boxed{\log_{19}{375} > \log_{17}{298}}$.

Answer 2

El siguiente método no utilizar cálculos aproximados.

Primero de todo, tenga en cuenta que $\ln 19 <\frac{7}{6}\ln 17$.

$$\log_{17} 298 \vee \log_{19} 375$$ $$\frac{\ln 298}{\ln 17}\vee \frac{\ln 375}{\ln 19}$$ $$\frac{\ln 298}{\ln 17}-2\vee \frac{\ln 375}{\ln 19}-2$$ $$\frac{\ln \frac{298}{17^2}}{\ln 17}\vee \frac{\ln \frac{375}{19^2}}{\ln 19}$$ $$\frac{\ln 17}{\ln\frac{298}{17^2}} \overline{\vee} \frac{\ln 19}{\ln\frac{375}{19^2}}$$ Ahora vamos a utilizar $\ln 19 <\frac{7}{6}\ln 17$ (vamos a demostrar que el número de la izquierda es más grande que el número de la derecha) $$\frac{1}{\ln\frac{298}{17^2}} \overline{\vee} \frac{\frac{7}{6}}{\ln\frac{375}{19^2}}$$ $$\frac{6}{\ln\frac{298}{17^2}} \overline{\vee} \frac{7}{\ln\frac{375}{19^2}}$$ $$6\ln\frac{375}{19^2}\overline{\vee} 7\ln\frac{298}{17^2}$$ $$\left(\frac{375}{19^2} \right )^6\overline{\vee} \left(\frac{298}{17^2} \right )^7$$ Es doloroso, pero es posible calcular sin una calculadora que $\left(\frac{375}{19^2} \right )^6> \left(\frac{298}{17^2} \right )^7.$ Ello contamos $\log_{17} 298 < \log_{19} 375.$