Mostrar las propiedades de un subconjunto de $\mathbb{C}$

Question

Dejemos que $\omega(k)=\alpha_{n}k^{n}+\alpha_{n-1}k^{n-1}+\dots+\alpha_{0}$ sea un polinomio de grado $n\in\mathbb{N}$ en $\mathbb{C}$ .

Definir $D=\{k\in\mathbb{C}:\text{Re}(\omega(k))<0 \}$ .

¿Cómo puedo demostrar que $\mathbb{C}-\partial D$ es una unión de conjuntos abiertos no limitados simplemente conectados?

Hay una pista para utilizar el hecho de que la parte real de $\omega(k)$ es una función armónica.

Nota: Tengo poca experiencia en topología, por lo que me gustaría una respuesta lo más elemental posible.

Answer 1

El lema clave es que no puede haber ninguna curva cerrada $S$ tal que $\forall s \in S: \text{Re}(\omega(s)) = 0$$ .

He aquí un esbozo de la demostración de ese lema: Obsérvese que cualquier curva cerrada en $\Bbb{C}$ tiene un interior. Si $\text{Re}(\omega(z)) = 0$ para todos $z$ en el interior, entonces por analiticidad $\omega(k)$ es una constante, que debe ser imaginaria pura, y $D = \emptyset$ que satisface vacuamente el requisito de ser una unión de conjuntos de cualquier descripción -- es la unión vacía. Así que somos libres de elegir $z$ en el interior tal que $\text{Re}(\omega(z)) \neq 0$ . Supongamos que $\text{Re}(\omega(z))> 0$ El otro caso puede abordarse de forma análoga.

Para nuestro punto dado $z$ y para $\text{Re}(\omega(k)) > \epsilon > 0$ definir $r_z(\theta, \epsilon)$ como el más pequeño $r > 0$ tal que $\text{Re}(\omega(z + r e^{i\omega})) = \epsilon$ . Este valor existe para todos los $\theta$ por el teorema del valor intermedio: Una función continua de $r$ va de $\text{Re}(\omega(z)) > \epsilon$ a $0 < \epsilon$ . Y por continuidad de $\omega(k)$ es fácil demostrar que la curva $w = z + r_z(\theta, \epsilon)e^{i\omega}$ es una curva continua cerrada.

Pero en esa curva, $\text{Re}(\omega(k)) = \epsilon$ por lo que la integral a lo largo de esa curva de $\omega(k)$ es positivo (o mejor dicho, tiene una parte real positiva). Pero esa integral es proporcional al valor del polo simple en $z$ que para un polinomio es cero. Así que no hay curva cerrada en la parte real $0$ puede existir.

Con este lema, la prueba principal es fácil.

Answer 2

Primero, un lema en topología general relacionado con este problema:

Lema: Sea $X$ , $Y$ espacio topológico, $X$ conectado localmente, $f\colon X \to Y$ un mapa continuo, abierto y cerrado. Sea $B$ un subconjunto cerrado de $Y$ y $A \colon = f^{-1}(B)$ . Entonces la imagen de cualquier componente conectada de $X\backslash A$ es un componente conexo de $Y \backslash B$ .

Prueba: Las componentes conectadas de $X\backslash A$ están abiertos porque $X$ es localmente conectado. Sea $C$ ser uno. Entonces $f(C)$ al ser conectada, está contenida en un componente conectado $C'$ de $Y \backslash B$ . Ahora la unión de los otros componentes conectados de $X\backslash A$ es abierto, por lo tanto $C \cup A$ está cerrado. Por lo tanto, $\bar C \subset C \cup A$ y así $f(\bar C)$ es igual a $f(C)$ con algunos elementos de $B$ añadidos, por lo que $f(C) = f(\bar C) \cap C'$ . Vemos que $f(C)$ es un abierto ( $f$ abrir así $f(C)$ abierto) y cerrado ( $f(\bar C)$ cerrado) subconjunto de $C'$ por lo que debe ser el completo $C'$ .

Aplicando esto al mapa continuo abierto y cerrado $f \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ polinomio de grado $n$ y $B \colon = \{ \mathcal{Re}\ z = 0\}$ vemos que cada componente de $\{z \ | \mathcal{Re}\ f(z) = 0\}$ se mapea de forma subjetiva en $\{ \mathcal{Re}\ z > 0\}$ o $\{ \mathcal{Re}\ z < 0\}$ por lo que, en particular, no puede ser acotado. De aquí concluimos que cada una de estas componentes conectadas es simplemente conectada, utilizando este hecho fundamental: un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$ es simplemente conectado si y sólo si el complemento de su cierre no tiene componentes acotados.

Era tentador concluir que como tenemos una cobertura ramificada $f \colon C \to \{ \mathcal{Re}\ z > 0\}$ podemos concluir de inmediato que $C$ está simplemente conectada. Sin embargo, esto parece no ser correcto, uno puede mapear un anillo a un disco por una $2-1$ cubierta ramificada.

$\bf{Added:}$ El mapa polinómico $f$ debe ser visto como una ramificación $n-1$ cubriendo desde la esfera de Riemann $S$ a $S$ . La preimagen del eje imaginario $\cup \{\infty\}$ (un círculo), es una gráfica en la esfera $S$ . Hay que entenderlo mejor.