¿Cuál es la definición de un conjunto?

Question

De lo que me han dicho, todo en matemáticas tiene una definición y todo se basa en las reglas de la lógica. Por ejemplo, si es o no $0^0$ es $1$ es una simple cuestión de definición.

Mi pregunta es cuál es la definición de un conjunto es?

He notado que muchas otras definiciones de iniciar con un conjunto de algo. Un grupo es un conjunto con una operación, una relación de equivalencia es un conjunto, una función puede ser considerada como una serie, incluso los números naturales pueden definirse como conjuntos de otros grupos que contienen el conjunto vacío.

Yo entiendo que hay toda un área de las matemáticas (y la filosofía?) que se ocupa de la teoría de conjuntos. He mirado en un libro acerca de esto y entiendo casi nada.

De lo poco que puedo conseguir, parece que los conjuntos son "nada" que satisface los axiomas de la teoría de conjuntos. No es suficiente decir que un conjunto es cualquier colección de elementos de varias paradojas. Así es, por ejemplo, una definición correcta para decir que un conjunto es cualquier cosa que satisfaga la ZFC lista de axiomas?

Answer 1

Formalmente hablando, los conjuntos se atómica en matemáticas.¹ Que no tiene definición. Son sólo "objetos básicos". Usted puede probar y definir un conjunto como un objeto en el universo de una teoría designado como "teoría de conjuntos". Esto reduce la definición en cuanto a lo que podemos llamar la "teoría de conjuntos", y esto no es realmente una definición matemática más.

En ingenuas de la configuración, se dice que los conjuntos son objetos matemáticos, que son colecciones de objetos matemáticos, y que no hay ningún significado para el orden y la repetición de los objetos en la colección.

Y cuando nos desplazamos de nuevo a la configuración formal, como $\sf ZF,NBG,ETCS,NF$² u otro conjunto de teorías, tratamos de formalizar las propiedades que nos espera a partir de conjuntos de tener. Estos pueden incluir, por ejemplo, la existencia de conjuntos de poder, o la comprensión de los esquemas. Pero ninguno de ellos es particularmente canónica para el significado de "conjunto".

Estos son sólo maneras de formalizar, mediante una relación binaria (o lo que tengas en la lengua), la idea de pertenencia o inclusión, o lo que usted piensa que debería ser la relación atómica definir conjuntos. Pero como para una correcta definición? En este aspecto "set" es tan Platónico como "presidente" o "número" o "vida".

---

Notas a pie de página:

1. Esto supone que usted toma un enfoque fundamental basado en la teoría de conjuntos. Hay otros enfoques para las matemáticas, por ejemplo, de tipo teórico, en el que la noción de "tipo" es primitivo, y los conjuntos son sólo un cierto tipo de objetos.

   Lo suficientemente fuerte como conjunto de teorías puede interpretar estas bases así, reduciéndolos a los conjuntos de si usted elige, o no, si usted elige no.

2. Estos son Zermelo-Fraenkel, von Neumann-Goedel-Bernays, Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos, y de las Nuevas Fundaciones. Estos no son el único conjunto de teorías, por supuesto. Y el punto de la respuesta es que estos ofrecen sólo los marcos formales de la noción de "conjunto" como un objeto primitivo (en una u otra forma).

Answer 2

Así es, por ejemplo, una definición correcta para decir que un conjunto es cualquier cosa que satisfaga la ZFC lista de axiomas?

Que es casi correcto, pero no del todo. Un conjunto en sí mismo no satisfacen los axiomas de ZFC, más que un vector puede satisfacer el espacio vectorial axiomas o un punto en su propio puede satisfacer los axiomas de la geometría Euclidiana.

En la escuela, sobre todo al principio, tendemos a ir desde específico a general. En primer lugar, aprender los números del 1 al 10 como un niño pequeño. Más tarde, se aprende más números naturales. Finalmente, mucho más tarde, empiezas a hablar sobre el conjunto de todos los números naturales.

Pero las cosas van por otro camino en matemáticas avanzadas. La definición de un espacio vectorial no empezar por decir lo que es un "vector". La definición de un espacio vectorial acaba de dar a propiedades que un conjunto de vectores que se debe tener con respecto a la otra para hacer un espacio vectorial.

Lo mismo vale para la teoría de conjuntos. En lugar de decir: "un conjunto es cualquier cosa que satisfaga la ZFC lista de axiomas", usted necesita para comenzar con todo el modelo de la teoría de conjuntos. Entonces, tiene sentido decir, por ejemplo, que un ZFC es un objeto en un modelo de ZFC que la teoría de conjuntos. Por supuesto, hay varias axioma de sistemas para la teoría de conjuntos, que a priori tienen diferentes tipos de "juegos". (Por supuesto, hay muchos espacios vectoriales con diferentes tipos de "vectores").

Cuando nos enteramos de la definición de un espacio vectorial, tenemos algunas intuitiva ejemplos tales como $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ para que nos guíe. Para la teoría de conjuntos, tenemos ejemplos como el de subconjuntos de $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$, y puro conjuntos tales como $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. Estos nos ayudan a entender lo que los axiomas están tratando de decir.

Answer 3

Los conjuntos de los miembros, y dos conjuntos son el mismo conjunto si, y sólo si, tienen los mismos miembros.

Que no es suficiente para caracterizar lo que establece son.

Por ejemplo, es el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos un miembro de sí misma? Si es así, se obtiene un ello, y si no, se obtiene una contradicción. La "clase" de todos los conjuntos es "demasiado grande para ser un conjunto", y que simplemente significa que no se puede aplicar a todas las operaciones que puede con los juegos. La misma cosa prohíbe la clase de todos los grupos a ser un conjunto de todos los grupos: si se tratara de un conjunto, entonces el conjunto de permutaciones de sus miembros de un grupo, y por lo tanto sería un miembro de el conjunto de todos los grupos, y que conduce a problemas como los de el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Asimismo, la clase de todos los espacios vectoriales no es un juego, etc. Estos "adecuada clases" se diferencian de los "sets" sólo se que no sean miembros de ninguna otra clase.

E. Kamke de la Teoría de los Conjuntos y Paul Halmos' Ingenua Teoría de conjuntos son bastante suave, si moderadamente pesada, la introducción a los "ingenuos" que la teoría de conjuntos. En "ingenuo" la teoría de conjuntos, conjuntos son colecciones de cosas. En "axiomático" la teoría de conjuntos, conjuntos son lo satifies los axiomas. Halmos inadvertenly acuñó el término "ingenua teoría de conjuntos" por el nombramiento de su libro que, cuando él creía, equivocadamente, que el término ya estaba en uso estándar.

Answer 4

Los conjuntos auto-definido; lo que estamos pidiendo aquí equivale a preguntar: ¿Cuál es la definición de una definición?

En cualquier caso, aquí está el $\color{red}{\mathrm{edad}}$ "definición" de un conjunto:

A set is a collection of 'things'.

Hay algunos que todavía aceptar esta "definición".

Sin embargo, supongamos que tenemos el conjunto de todos los conjuntos $S$ definida por $$S=\left\{x \a mediados de x espacio \\mathrm{es} espacio\\mathrm{un} espacio\\mathrm{set} \right\}$$ y $R$ el conjunto de todos los conjuntos que no se tienen a sí mismos como un elemento definido como $$R=\left\{x \a mediados de x espacio \\noen x \right\}$$ De esto nos podemos hacer es de $R$ un elemento de $R$?

Si sí, entonces $I \in R \implica R \noen R$

Si no, entonces $R \noen R \implica R \in R$

Esto es una contradicción y es conocido como la Paradoja de Russell.

Esta paradoja más tarde fue resuelto por Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel y es conocido por ser el Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos. Por lo tanto $\color{blue}{\mathrm{nuevo}}$ "definición" es el conjunto axiomático de la teoría y es el más fundamental de la fundación de las matemáticas.

Entonces, para resumir:

No hay ninguna definición de un conjunto. Como un conjunto ya es un auto-definido de la entidad.

Answer 5

Una de las razones por las matemáticas es tan útil es que es aplicable a muchos campos diferentes. Y la razón para eso es que su estructura lógica comienza con "términos indefinidos" que luego se le pueden dar definiciones apropiadas para el campo de aplicación. "Set" es una de las más básicas "términos indefinidos". En lugar de definir a priori, se desarrollan las teorías basadas en genérico "propiedades" y permitir a las que se aplican a un campo en particular (otro campo de las matemáticas o la física o la química, etc.) el uso de una definición apropiada para ese campo (siempre y cuando esas "propiedades" de curso).