¿Qué es lo más injusto conjunto de tres intransitiva dados?

Question

En un conjunto no transitiva de dados, cada uno de los troqueles es superior a otro de morir, pero es inferior a la de un tercero. Es similar al juego de piedra-papel-tijeras. He aquí un ejemplo:

die A has sides: 2, 2, 4, 4, 9, 9
die B has sides: 1, 1, 6, 6, 8, 8
die C has sides: 3, 3, 5, 5, 7, 7

Mueren 5/9ths probabilidad de sacar un número mayor que B, que tiene en sí misma un 5/9ths probabilidad de sacar un número mayor que C, que tiene en sí misma un 5/9ths probabilidad de sacar un número mayor que A. es un círculo sin ganador.

Supongamos que hay un simple juego de dados, donde una persona toma una mueren a causa de la serie de tres intransitiva dados. Una segunda persona, a continuación, elige otra mueren por el conjunto. Los jugadores entonces el rollo de los dados, y la persona que saca el número más alto gana. Si hay un empate, los jugadores simplemente se vuelve a tirar hasta que haya un ganador.

Si este juego se juega con el anterior conjunto de dados, a continuación, el segundo jugador siempre será capaz de elegir un superior morir, y va a ganar el juego 5/9ths de la época.

¿Qué es un posible conjunto de intransitiva dados que maximiza la injusticia de este juego? Un requisito adicional es que el segundo jugador de probabilidades de ganar no debe ser afectado por la primera opción del jugador de morir.

Answer 1

Resulta que usted puede hacer muy ligeramente mejor que el de los dados en el ejemplo. La probabilidad tiene que ser un múltiplo de $1/36$, su ejemplo ha $20/36$, y el mejor valor posible es $21/36=7/12$.

A partir de mi respuesta a la pregunta que anon vinculados, se sabe que la probabilidad de un $6$colindado mueren paliza a otro, mientras que la menor a la mediana puede ser en la mayoría de las $3/4-1/12=2/3=24/36$. Wikipedia da un ejemplo de un ciclo de cuatro dados en el que cada mueren golpea la siguiente con esta probabilidad.

Buscas un ciclo de tres dados, en el que cada mueren golpea la siguiente con la misma probabilidad. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que los dados llevar a $18$ números diferentes. Luego hay $18!/6!^3=17153136$ diferentes juegos de dados, así que está bien al alcance de los amigos a probarlo todo. Aquí está el código que hace que (en lugar de una forma ineficiente). El resultado es que la máxima probabilidad de que un ciclo es $21/36=7/12$ y hay ocho diferentes conjuntos de dados que lograr que la probabilidad. Aquí están, con tramos consecutivos de números se derrumbó en uno como en tu ejemplo:

0 3 3 3 6 6
2 2 2 5 5 5
1 4 4 4 4 4

0 0 3 3 3 6
2 2 2 2 2 5
1 1 1 4 4 4

0 3 5 5 5 5
2 4 4 4 4 7
1 1 1 6 6 6

0 3 5 7 7 7
2 2 4 4 6 9
1 1 1 8 8 8

0 3 3 5 5 5
2 2 2 4 4 7
1 1 1 6 6 6

0 3 5 5 7 7
2 2 2 4 6 9
1 1 1 8 8 8

0 3 3 3 3 5
2 2 2 2 4 7
1 1 1 6 6 6

0 0 3 6 6 6
2 2 2 5 5 5
1 1 1 4 7 7

Hay dos conjuntos con $7$ números diferentes, cuatro conjuntos con $8$ y dos con $10$, y su cerca de lo óptimo ejemplo ha $9$, mientras que el número medio de diferentes números, después de desplomarse, promediado sobre todos los conjuntos con $18$ números diferentes, es $18-17\cdot(5/17)=13$, por lo consecutivos tramos de números y por lo tanto de alta colapso son una característica notable de estos conjuntos.

P. S.: acabo de darme cuenta de que hay una simetría en los que puede invertir los pedidos de ambas caras de los dados y los números y obtener otro grupo con la misma probabilidad. Los dos primeros grupos están relacionados por esta simetría, como son el tercero y el séptimo, el cuarto y el sexto y el quinto y octavo. Por lo tanto, hay sólo cuatro conjuntos diferentes de los dados, con $7$, $8$, $10$ y $8$ diferentes números, respectivamente.

Answer 2

Mediante el uso de números 1 4 4 4 4 4, 2 2 2 5 5 5, 3 3 3 3 3 6 tiene dos pares con 21/36 pero un par se ha 25/36, por lo que en general ha probabilidad es más injusto.