La explicación básica de la idea es que la clásica (y moderna!) diferencial de los geómetras está interesado en la intrínseca, en lugar de extrínsecas, las propiedades de la suave colectores. Por ejemplo, nos gustaría entender las propiedades geométricas de las curvas y superficies que no dependen de su integración en el espacio Euclidiano. Una curva en el espacio es un buen mapa de $\gamma:I\to \mathbb{R}^3$ con cero derivado de donde $I$ es un intervalo abierto en $\mathbb{R}$. La condición de que el derivado de la $\gamma$ ser distinto de cero es puramente técnica. Por supuesto, la curva es una función y por lo tanto se pierde información si podemos identificar una curva con su imagen. Por ejemplo, las imágenes de las curvas de $f:(0,2\pi)\to \mathbb{R}^2$ $g:(0,\pi)\to \mathbb{R}^2$ dada por las reglas de $f(t)=(\cos t,\sin t)$ $g(t)=(\cos 2t, \sin 2t)$ son iguales, pero las curvas de $f$ $g$ (es decir, las funciones $f$$g$) no son iguales. Por ejemplo, sus dominios son diferentes físicamente, pero la curva de $g$ es una curva con el doble de la velocidad (y, por lo tanto, el doble de la velocidad) de la curva de $f$.
Las curvas de $f$ $g$ en el ejemplo anterior se dice que los reparametrizations el uno del otro. Formalmente, si $\gamma:I\to \mathbb{R}^3$ es una curva y si $p:I'\to I$ es un buen mapa con los no-cero de la derivada, entonces decimos que la $\gamma\circ p:I'\to \mathbb{R}^3$ es un reparametrization de $\gamma:I\to \mathbb{R}^3$. La condición de que el derivado de la $p$ ser distinto de cero es necesario para que el reparametrization de una curva es una curva (en nuestra anterior definición de "curva"). Una pregunta básica que podemos hacernos es: que las propiedades de las curvas no depende de la parametrización? De hecho, la medida de lo intrínseco de la geometría se refiere, nosotros sólo nos preocupamos de la imagen de la curva en lugar de la curva. Por ejemplo, la velocidad de una curva depende de su parametrización (por la regla de la cadena) como lo hace la velocidad de una curva (es decir, la norma de la velocidad).
El siguiente ejercicio proporciona una respuesta a esta pregunta y os animo a intentar el ejercicio:
Ejercicio 1: La longitud de una curva de $\gamma:(a,b)\to \mathbb{R}^3$ es la integral de la $\int_{a}^{b} \left|\gamma'(t)\right|dt$. Demostrar que la longitud de una curva es independiente de su parametrización. (Sugerencia: use la regla de la cadena en el cálculo diferencial y el cambio de variables teorema de la integral cálculo.)
Podemos deducir que la longitud de una curva es una propiedad intrínseca de la curva. Por supuesto, hay otras propiedades de las curvas que no dependen de su proceso de parametrización. La curvatura es uno de los dichos bienes, y si usted está familiarizado con este concepto, a continuación, os animo a probar esto por su cuenta.
Ejercicio 2: Si $\gamma:I\to \mathbb{R}^3$ es una curva, entonces la arclength parametrización de $\gamma$ está dado por el cambio de un parámetro de $p^{-1}:I'\to I$ donde$p(t)=\int_{a}^{t} \left|\gamma'(t)\right|dt$$I'=p(I)$. Demostrar que la arclength parametrización es de hecho un reparametrization de $\gamma$. ($I'\subseteq \mathbb{R}$ Es un intervalo abierto por el teorema de la función inversa, si usted desea ser técnico).
Ejercicio 3: Determinar el arclength parametrización de la curva de su pregunta (este debería ser un simple cálculo integral).
La observación crucial es que la arclength paramatrization es intrínseca a la curva, es decir, la arclength parametrización no depende de la parametrización inicial de la curva con la que se inició (esto debería ser obvio, pero, si no, probar mediante el Ejercicio 1 y el Ejercicio 2).
En la moderna geometría diferencial, la gente está interesada en las propiedades de las curvas y superficies que sólo dependen de la inducida por la métrica de Riemann desde el espacio Euclidiano. Por ejemplo, estas propiedades incluyen la arclength, curvatura, torsión, bitorsion etc. Un famoso teorema de la geometría diferencial es el Theorema Egregium de Gauss que afirma que la curvatura Gaussiana de una superficie (es decir, el producto de las curvaturas principales de la superficie) no depende de la incrustación de la superficie en el espacio Euclidiano, pero sólo en la inducida por la métrica de Riemann. El análogo de la arclength parametrización en dimensiones superiores (es decir, el análogo de la arclength parametrización para dimensiones superiores de Riemann colectores) está dada por el mapa exponencial y normal de coordenadas.
Espero que esto ayude!
