Supongamos que usted ha llegado al punto donde usted sabe que usted está buscando un conjunto de números que no contiene un triplete $x$, $y$, $z$ tal que $x+z=2y$.
Si te doy tres números, ¿cómo se puede comprobar si lo hacen o no satisfacer esa igualdad? Así, la más estúpida es simplemente ver si $x$ $z$ agregar a a $2y$, por supuesto!
Ahora, si tomamos dos números y en realidad se trata de agregar, de inmediato nos damos cuenta de que hay algo atornillar con nosotros: todos los que lleven más de una columna a la otra. Por tanto, para evitar que, consideramos sólo los números de $x$ $z$ tal que cuando se añade ellos no hay realización, cruzando los dedos para que esta condición no es demasiado draconianas que nos deja con muy pocos candidatos... (Y oye, tenemos la oportunidad de hacer uso de la palabra draconianas!)
También necesitamos calcular $2y$, así que puede que tan bien mantener nuestros dedos cruzados - se asume que, cuando se calcula que hay también no llevar encima.
Si los dígitos de $x$$x_nx_{n-1}\cdots x_0$, y del mismo modo para $y$$z$, en este punto, la condición de que $x+z=2y$ se traduce en
$x_i+z_i=2y_i$ todos los $i\in\{0,\dots,n\}$.
Así, lo que queremos es que si los dígitos de $x$, $y$ y $z$ satisfacer esta condición, entonces, en el hecho de $x$, $y$ y $z$ no pueden ser todos diferentes. Así que, si sólo permitimos que los dígitos de los números que vienen de un conjunto de $S\subseteq\{0,1,\dots,9\}$, queremos que
para todos $a$, $b\in S$, a continuación, $a+b<10$
de manera que no se lleven más cuando calculamos el $x+z$, ni cuando calculamos el $2y$, y que
si $a$, $b$, $c\in S$ son tales que $a+b=2c$, entonces, en el hecho de $a=b=c$.
(Esto se parece más de lo que realmente necesitamos, pero no puedo pensar en lo que realmente necesitamos... si no funciona, esto es que se necesita pensar más...)
Así que... un poco de trabajo mostrará que podemos recoger $S=\{0, 1, 3, 4\}$. y entonces funciona. Genial!
Tan sólo tenemos que considerar todos los números cuyas cifras son extraídas de ${0,1,3,4}$ y que están a menos de $100,000$. Hmm. Pensamos un poco y ver que hay muy pocos de estos! Maldita sea. De hecho, hay 1025 de ellos.
Empezar de nuevo.
Bien... ahora tenemos un poco de idea: ¿qué es esta obsesión con el número de $10$. Realmente. Nunca me envuelve mi cabeza con el uso de $A$ $B$ y así sucesivamente como dígitos, así que bueno, voy a intentar usar otra base, pero más pequeño que el $10$.
(Hmm, la base de la $2$, los sospechosos usuales, no va a ayudar aquí...)
Random pick: vamos a hacer la base de $6$. Nuestro set $S$ de los dígitos que tendrá que ser extraído de ${0,1,2}$, porque para $3$ ya hemos llevar al doblar. Hm. Los conjuntos de $S$ podemos construir tienen en la mayoría de $2$ elementos; por ejemplo, $\{0,2\}$ o $\{1,2\}$. Hmm. Pensando un poco muestra que hay muy pocos números más pequeños que $100000$ el uso de los $6$adic números (que, por supuesto, prefieren $\{0,2\}$$\{1,2\}$, porque nos permite escribir números más pequeños, así que más números). Maldita sea nuevo.
Así que... Creo que un poco más... Con base $5$ no va a ayudar, porque el máximo de dígitos también es $2$... Base $4$... Ok. Podemos tomar $S=\{0,1\}$, y trabajar, trabajar, trabajar, sólo hay 512 números por debajo de $100000$ utilizando sólo de ellos. Ok, pero la base de $3$ nos permite el uso de los mismos dígitos, y obviamente habrá más números con sólo esos dígitos. Hmm. Ooooo. $2048$ !
Que hicimos :)
