Subgrupos de $S_4$ isomorfo a$S_3$$S_2$?

Question

Es un trabajo principal problema que tengo: Encontrar $4$ diferentes subgrupos de $S_4$ isomorfo a $S_3$ $9$ isomorfo a $S_2$.

Mi planteamiento es: desde $S_3=\{1, (123),(132),(12),(23),(13)\}$, simplemente tomar los grupos de permutaciones en $\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\}$, obviamente están todos los subgrupos de $S_4$.

Para encontrar el isomorfismo, para cada subgrupo, simplemente asignar 1 primero, 2 al segundo, 3 al tercero. Este va a ser un isomorfismo.

Por ejemplo, en el grupo de las permutaciones en $\{1,2,4\}$, asignar $(124)\rightarrow(123) (24)\rightarrow(23),(142)\rightarrow(132), (14)\rightarrow(13)$, etc.

Creo que este método está muy bien, pero tengo problemas con la segunda parte del problema. Es decir, para encontrar el $9$ diferentes subgrupos de $S_4$ isomorfo a $S_2$. Cuando puedo recoger $2$ elementos de $\{1,2,3,4\}$, $\frac{4!}{2!2!}=6$ maneras, lo que significa que este método sólo da $6$ diferentes subgrupos isomorfo a $S_2$, pero el problema dice que no se $9$.

Es mi método de malo? O hay algunos otros subgrupos que me he perdido?

Gracias!!!

Answer 1

Aquí está una receta para encontrar todos los subgrupos de S_n que son isomorfos a un fijo y entendido completamente grupo G, como G = S₃.

En primer lugar, encontrar todas las clases conjugacy de los subgrupos H de G, y la etiqueta por su índice de $[G:H] = |G| / |H|$. Por ejemplo, para G = S₃:

• "1" es el subgrupo { 1, (123), (132), (12), (13), (23) }
• "2" es el subgrupo { 1, (123), (132) }
• "3" es el subgrupo { 1, (12) }, o uno de sus conjugados: { 1, (13) } o { 1, (23) }
• "6" es el subgrupo { 1 }

Cada uno de estos define un camino para G a (ley de la multiplicación en los cosets de H en G). Por ejemplo, para G = S₃:

• "1" es la acción en 1 punto { a }, donde cada elemento de G de hojas de Un solo
• "2" es la acción en 2 puntos { B, C }, donde el 2-ciclos { (12), (13), (23) } todos interruptor B y C, pero todos los demás { 1, (123), (132) } las hojas a y B solo
• "3" es la acción en 3 puntos { 1, 2, 3 }, donde todo el mundo hace lo natural
• "6" es la acción en 6 puntos { E = 1, F = (123), G = (132), H = (12), I = (13), J = (23) }, donde todo el mundo actúa como la multiplicación

Ahora escribir n como una desordenada suma de los índices. Por ejemplo, si n = 4, entonces sólo hay una manera:

• "4 = 3 + 1" actúa en 1,2,3, y A=4. La acción combinada es { 1, (123), (132), (12), (13), (23) }, donde nadie se mueve 4.

Un mejor ejemplo es n = 5, donde hay dos maneras:

• "5 = 3 + 1 + 1" actúa sobre 1,2,3 y hojas de 4 y 5 solo: { 1, (123), (132), (12), (13), (23) }
• "5 = 3 + 2" actúa en 1,2,3 y B=4, C=5: { 1, (123), (132), (12)(45), (13)(45), (23)(45) }

Tal vez incluso mejor es n = 6, donde hay cuatro maneras:

• "6 = 3 + 1 + 1 +1" es { 1, (123), (132), (12), (13), (23) }
• "6 = 3 + 2 + 1" es { 1, (123), (132), (12)(45), (13)(45), (23)(45) }
• "6 = 3 + 3" necesidades de {4,5,6} ser una segunda copia de {1,2,3}, y así es: { 1, (123)(456), (132)(465), (12)(45), (13)(46), (23)(56) }
• "6 = 6" es sólo { 1, (123)(456), (132)(465), (14)(26)(35), (15)(24)(36), (16)(25)(34) } = { 1, (EFG)(HIJ), (EGF)(HJI), (EH)(FI)(GJ), etc.}

En cada caso, hemos escrito una acción general de G como una suma de simple "transitiva" acciones de G en el cosets de un subgrupo H. Esto se llama la órbita estabilizador teorema; su curso debería mencionar esto al menos superficialmente. La idea de que, literalmente, la adición de ellos es una forma de ver "permutación de caracteres" en el carácter de la teoría; que será en un curso posterior, lo más probable.

Esto sólo funciona si (a) usted entiende G muy bien, y (b) los "grandes" del grupo es de S_n. Una cosa similar funciona si los "grandes" del grupo es un grupo lineal general, pero, a continuación, la H se sustituye por módulos y esto se llama la teoría de representaciones de grupos finitos.