Escribir $n^2$ números reales en $n \times n$ cuadrado de la cuadrícula

Question

Deje $k$ $n$ dos enteros positivos tales que a $k<n$ $k$ no divide $n$. Mostrar que uno puede llenar un $n \times n$ cuadriculada con $n^2$ real números tales que la suma de los números en una arbitraria $k \times k$ retícula cuadrada es negativo, pero la suma de todas las $n^2$ números es positivo.

Fuente: La Tarea

Mi idea: me presentó $n = mk + r$ y escribir $-k^2$ en cada plaza con coordenadas de la forma $(ik, jk)$ donde $i, j$ son enteros positivos y 1 en otro de los cuadros. Entonces la suma de cada una de las $k \times k$ cuadrado es $-1$ y la suma de los $n^2$ números es $n^2 - m^2(k^2+1)$. Pero esto no funciona para los grandes $m$.

Answer 1

Esto se puede hacer de forma que todas las filas son los mismos. Aquí está la idea de que mi solución: vamos a la primera columna tiene un valor de $a > 0$, para ser elegido más tarde. Dejar que la próxima $k - 1$ columnas todos tienen $-1$ en ellos. A continuación, repita este patrón: una columna de $a$s, $k-1$ de la columna de $-1$'s. A continuación, todos los $k \times k$ plaza tiene exactamente una columna de $a$'s y el resto se $-1$'s. Por lo tanto, la suma sobre este cuadrado es $ ka - k(k-1)$. Si queremos que este valor sea negativo, entonces necesitamos $a < k - 1$, es decir, $a = k-1 - \epsilon$ algunos $\epsilon > 0$, que se decidirá más adelante.

Ahora echemos un vistazo a la suma de la totalidad de la matriz. Si escribimos $n = mk + r$, luego tenemos a $m$ columnas de $a$'s y $n - m$ columnas de $-1$'s. La suma total es, a continuación,$$ nma - (n - m)n$.

Tenga en cuenta que $n = mk + r \implies n - m = m(k - 1) + r$. Por lo tanto, tenemos que la suma de la totalidad de la matriz es $$ nm((k - 1) - \epsilon) - ((k - 1)m - r)n = rn - nm\epsilon.$$

Por lo tanto, si tomamos $\epsilon = \frac{r}{2m}$, entonces tenemos que la suma es $$ rn - nm\epsilon = rn - nm \frac{r}{2m} = \frac{rn}{2} > 0$$ como se desee.

EDIT: Al final de la matriz se ve como: $$ \left(\begin{array}{cccc|cccc|c|ccc} a& -1 & \cdots & -1 &a & -1 & \cdots & -1 &\cdots &a & \cdots & -1 \\ a& -1 & \cdots & -1 &a & -1 & \cdots & -1 &\cdots &a & \cdots & -1 \\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\ddots &\vdots & \ddots & \vdots \\ a& -1 & \cdots & -1 &a & -1 & \cdots & -1 &\cdots &a & \cdots & -1 \\ \end{array} \right)$$

Donde $a = k-1 -\frac{r}{2m}$ en cada uno de los bloques, pero la última que tengo una columna de $a$'s y $(k-1)$ columnas de $-1$'s. En la última columna, he $r$ $-1$'s. nota, si me multiplicar la matriz completa por $2m$, entonces se ha entero entradas.

Answer 2

He aquí una respuesta para demostrar que, de hecho, la OP en la idea original de las obras, si los números son elegidos correctamente.

Deje que nuestro matriz de tomar los valores de $b-a$ en los índices de $(ik,jk)$ $b$ en otros lugares, con $n$ factor de la $n=mk+r$. Entonces la suma a través de una $k\times k$ submatriz es $k^2b-a$, y la suma de todo el conjunto de la $n\times n$ matriz es $n^2b-m^2a$. Las restricciones a satisfacer son lo $n^2b>m^2a$$k^2b<a$. Esto implica $m^2k^2b<m^2a<n^2b$, lo $mk<n$ implica $b>0$. Dividiendo por $m^2b$, obtenemos

$$k^2<\frac ab<\frac{n^2}{m^2},$$

y podemos sentir libres para escoger la $b=2m^2$ $a=n^2+m^2k^2$ (el punto medio) o cualquier otra solución que satisface la desigualdad. El OP de la elección utilizado $b=1$$a=k^2+1$, lo que satisface la primera desigualdad, pero la segunda desigualdad en el peor de los casos ha $r=1$$\frac nm=k+\frac1m$$\frac{n^2}{m^2}=k^2+2\frac km+\frac1{m^2}$, por lo que el $+1$ es un poco demasiado generoso y es undercut para un gran $m$. (Esto también puede ser tomado como una prueba de que una lo suficientemente grande entero solución no se puede tomar a $1$ para el "fondo" valor"$b$.)

Answer 3

Esta es una ligera variante en la construcción de Marcus M de la respuesta.

Después de haber escrito $n=mk+r$ con enteros positivos $m$$0\lt r\lt k$, comience con una matriz de la forma

$$\pmatrix{ a&-1&\ldots&-1&\ldots&un&-1&\ldots&-1&b&\ldots&b\\ a&-1&\ldots&-1&\ldots&un&-1&\ldots&-1&b&\ldots&b\\ \vdots\\ a&-1&\ldots&-1&\ldots&un&-1&\ldots&-1&b&\ldots&b\\ }$$

donde cada fila se compone de una $a$, seguido por $(k-1)$ $-1$'s, repetido $m$ a veces, con $r$ $b$'s al final. Tenga en cuenta que la suma de cualquiera de las $k$ números consecutivos en cualquier fila $a-(k-1)$ o $bs-(k-s)$$1\le s\le r$, mientras que la suma de toda la fila es $m(a-(k-1))+br$.

A continuación, vamos a $a=k-1$$b={k\over r}-1$. La suposición $0\lt r\lt k$ implica $a$ $b$ son positivos. Nuestra construcción hasta ahora implica que la suma de cualquiera de las $k$ números consecutivos en cualquier fila $$a-(k-1)=(k-1)-(k-1)=0$$ o $$bs-(k-s)=({k\over r}-1)s-(k-s)={s\over r}k-k\le0$$

mientras que la suma de todos los números en una fila

$$m(a-(k-1))+br=m((k-1)-(k-1))+({k\over r}-1)r=k-r\ge1$$

Por lo tanto la suma de los números en cualquier $k\times k$ bloque es menor o igual a $0$, mientras que la suma de la totalidad de la $n\times n$ de la matriz es mayor que o igual a $n$.

Ahora esto no es bastante lo que se requiere, pero es fácil de arreglar: al restar un número muy pequeño (algo menos de $1/n$) de cada número en la matriz, incluyendo todos los $-1$'s. De este modo se garantiza que todos los $k\times k$ bloque tiene ahora una suma negativa, mientras que la suma de la totalidad de la matriz sigue siendo positiva.