Demostrar que $ f(x) = e^x + \ln x $ alcanza cada número real como su valor exactamente una vez

Question

Demostrar que la función $$ f(x) = e^x + \ln x $$ alcanza cada número real como su valor exactamente una vez.

En primer lugar, he pensado en demostrar que esta función es una función continua monótona.

Pero entonces no estaba seguro de si es así como se demuestra el resultado, y si lo es, no estaba seguro de cómo demostrarlo exactamente de esa manera.

Answer 1

Claramente, $f$ es continua y diferenciable sobre el conjunto de números positivos.

$$f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$$ Si $x>0, f'(x)>0$ por lo que es una función continua monótona. Además, hay que tener en cuenta que $$\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=-\infty$$ y $$\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=\infty$$

Por lo tanto, alcanza cada número real exactamente una vez.

Answer 2

Puedes demostrarlo observando tres cosas:

1. La función $f \colon (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ es continua y estrictamente monótona como $$ f'(x) = e^x + \frac{1}{x} > 0 \,\,\, \forall x \in (0,\infty). $$
2. Cuando $x \to 0^{+}$ tenemos $$ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = -\infty. $$
3. Cuando $x \to \infty$ tenemos $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty. $$

Utilizando $(2)$ y $(3)$ , dado $y \in \mathbb{R}$ podemos encontrar $x_0 < x_1$ tal que $f(x_0) < y - \frac{1}{2}$ y $f(x_1) > y + \frac{1}{2}$ . Por la continuidad en $[x_0,x_1]$ , $f$ debe asumir todos los valores entre $f(x_0)$ y $f(x_1)$ y en particular $y$ . Por monotonicidad estricta, supondrá $y$ sólo una vez.

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Sin probar $(2)$ y $(3)$ la función podría perder algunos valores si tiene una asíntota en el infinito o en $0$ . Por ejemplo, $f(x) = \arctan(x)$ es monótona en $(0,\infty)$ pero su imagen es $(0,\frac{\pi}{2})$ .