Media geométrica de los reales entre 0 y 1

Question

¿Cuál es la media geométrica de todos los reales entre $0$ y $1$ ?

Estuve pensando en esto, pero no se me ocurrió nada útil. Por favor, ayúdenme.

Answer 1

No está del todo claro qué significa la media geométrica de una colección incontable de números. Pero he aquí una posible interpretación.

La media geométrica de dos números $x,y$ viene dada por $$g=\sqrt{xy}$$ que se puede reescribir $$\ln g=\frac{\ln x+\ln y}{2}\ .$$ Es decir, el logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos. La media aritmética de los logaritmos de todos los números de $a$ a $b$ es $$\frac1{b-a}\int_a^b \ln x\,dx=\frac{(b\ln b-a\ln a)-(b-a)}{b-a}$$ y la media geométrica es por tanto $$\exp\Bigl(\frac{(b\ln b-a\ln a)-(b-a)}{b-a}\Bigr) =\frac1e\Bigl(\frac{b^b}{a^a}\Bigr)^{\frac1{b-a}}\ .$$ Tenga en cuenta que si $a=0$ entonces $a^a$ no está definido; pero se puede utilizar el límite como $a\to0^+$ que es $1$ .

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En concreto, para el intervalo $[0,1]$ esto da $e^{-1}$ y para el intervalo $[1,2]$ da $4e^{-1}$ .

Answer 2

Sería

$$\exp\left(\int_{0}^{1}\ln x \, dx\right)=e^{-1}$$

Answer 3

Este es un resultado más general. Primero consideremos la media generalizada: $$\operatorname{GM}(n, m)=\sqrt[n]{\frac1m\sum_{k=1}^mx^n_k}$$ Podemos ampliar esta definición a una función en lugar de una secuencia. Sea $I=[m_0,m_1]$ sea un límite tal que sea el dominio $f(x)$ . Ahora podemos escribir la media generalizada de los valores de $f(x)$ como $$\operatorname{GM}(n, f)=\sqrt[n]{\frac1{m_1-m_0}\int_{m_0}^{m_1}f^n(x)\ \mathrm dx}$$ Una propiedad de la media generalizada discreta era que $n=1$ era la media aritmética, $n=2$ era la media cuadrática, $n=0$ era la media geométrica, $n=-1$ era la media armónica, ya que $n\to \infty$ se acercó al máximo de los valores y como $n\to-\infty$ se acercó al mínimo de los valores.

Si tomamos $f(x)=x$ , $[m_0, m_1]=[0, 1]$ y limitar $n\to 0$ (al igual que la media geométrica para el caso discreto) obtenemos $$\lim_{n\to 0}\sqrt[n]{\int_0^1 x^n \mathrm dx}=\lim_{n\to0}\frac1{\sqrt[n]{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{-n}=e^{-1}$$ como se esperaba. Este enfoque también le permite encontrar los otros medios. Si se limita $n\to \infty$ o $\to -\infty$ obtendrá los límites superior e inferior del dominio.