Soy auto-estudio de análisis complejo, así que soy un novato. Me encontré con un interesante serie que estoy tratando de evaluar el uso de CA.
Mostrar que $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\coth(\pi n)}{n^{7}}=\frac{19{\pi}^{7}}{56700}$$
Empecé por considerar $$\oint_{C_{N}}\frac{\pi \cot(\pi z)\coth(\pi z)}{z^{7}}$$
$$=\oint_{C_{N}}\frac{\pi \cos(\pi z)\cosh(\pi z)}{z^{7}\sin(\pi z)\sinh(\pi z)}$$
Donde $C_{N}$ es el cuadrado centrado en el origen con vértices
$$(N+1/2)(-1+i), \;\ (N+1/2)(1+i), \;\ (N+1/2)(-1-i), \;\ (N+1/2)(1-i)$$
Los polos se encuentran en $$z=0 (\text{order }9), \;\ z=\pm 1, \;\ \pm 2,\ldots, \;\ z=\pm i, \;\ \pm 2i,\ldots$$
Así, utilizando la serie de las respectivas funciones trigonométricas, me sale:
$$\frac{\pi \cos(\pi z)\cosh(\pi z)}{z^{7}\sin(\pi z)\sinh(\pi z)}$$
$$=\pi \frac{\left(1-\frac{(\pi z)^{2}}{2!}+\frac{(\pi z)^{4}}{4!}-\cdots\right)\left(1+\frac{(\pi z)^{2}}{2!}+\frac{(\pi z)^{4}}{4!}+\cdots\right)}{z^{7}\left({\pi}z-\frac{(\pi z)^{3}}{3!}+\frac{(\pi z)^{5}}{5!}-\cdots \right)\left({\pi}z+\frac{(\pi z)^{3}}{3!}+\frac{(\pi z)^{5}}{5!}+\cdots\right)}$$
$$=\pi \frac{\left(1-\frac{(\pi z)^{4}}{6}+\cdots \right)}{z^{7}(\pi z)^{2}\left(1-\frac{(\pi z)^{4}}{90}+\cdots \right)}$$
Lo que conduce a un residuo en z=0 de $\frac{-7{\pi}^{7}}{4050}$, ya que este es el coeficiente de la 1/z plazo.
El residuo de a $z=n$ $\lim_{z\to n}\frac{(z-n)}{\sin(\pi z)}\cdot \frac{\pi \cos(\pi z)\coth(\pi z)}{z^{7}}=\frac{\coth(\pi n)}{n^{7}}$
El residuo de a $z=ni$ $\lim_{z\to ni}\frac{(z-ni)}{\sinh(\pi z)}\cdot \frac{\pi cot(\pi z)cosh(\pi z)}{z^{7}}=\frac{coth(\pi n)}{n^{7}}$
Ahora, aquí es donde estoy atascado. ¿De dónde viene el $\frac{19}{56700}$?.
Al parecer es un error yo estoy haciendo algo o que debo hacer no tengo conocimiento de.
Así, por el teorema de los residuos, que debo tener algo como esto:
$$\oint_{C_{N}}\frac{\pi \cot(\pi z)\coth(\pi z)}{z^{7}}dz=\frac{-7{\pi}^{7}}{4050}+\text{something}\sum_{n=1}^{N}\frac{\coth(\pi n)}{n^{7}}$$.
Lo que estoy haciendo mal o pasando por alto?. No sé cómo obtener el $\frac{19}{56700}$. Con el fin de obtener $\frac{19}{56700}$, $\text{something}$ tendría que ser $\frac{98}{19}$. Yo podría entender que el ser $4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{coth(\pi n)}{n^{7}}$. Por supuesto, este sería el resultado en $\frac{7{\pi}^{7}}{16200}$. La ayuda es muy apreciada. Muchas gracias.
