teoría K algebraica y productos tensoriales

Question

La teoría K algebraica define un functor K que lleva anillos conmutativos a E_ \infty espectros de anillos. Me interesa saber qué salidas (productos tensoriales/de choque) preserva K. Por ejemplo, si R es un anillo noetheriano regular entonces (creo) K(R[t, t^{-1}]) = K(R) / ΣK(R) = K(R) /\ _K(Z) K(Z[t, t^{-1}]). Por otro lado, K(Q) = K(Q ⊗ Q) no es lo mismo que K(Q) /\ _K(Z) K(Q) como se puede comprobar calculando π ₁ .

¿Existen condiciones útiles bajo las cuales la teoría K preserva los pushouts?

Edición: Me interesan igualmente las respuestas positivas más generales y los contraejemplos más geométricos. Por ejemplo, ¿cuál es un ejemplo de esquemas suaves X e Y sobre Spec k tal que K(X) /\ _K(k) K(Y) -> K(X x _k Y) no es una equivalencia?

Además, ¿qué pasaría si sólo me preocupara por K ₀ ? ¿Es entonces el mapa del producto más a menudo un isomorfismo?

En términos más generales, ¿existe una secuencia espectral para calcular la teoría K de un producto de fibras de esquemas?

Answer 1

Para las variedades lisas $X$ y $Y$ sobre un campo $k$ es bastante raro que el mapa de productos $K_0(X)\otimes K_0(Y)\to K_0(X\times_kY)$ es un isomorfismo (o suryente).

Por ejemplo, supongamos que $X$ es suave y adecuado sobre $k$ y el mapa del producto anterior es suryente para $Y=X$ . Consideremos la clase de la diagonal $\Delta_X$ en $K_0(X\times_kX)$ (esto tiene sentido porque $K_0$ es la misma para los haces vectoriales y las láminas coherentes). Entonces la clase de $\Delta_X$ es expresable como una suma finita $\sum_ia_i\otimes b_i$ con $a_i,b_i\in K_0(X)$ .

Ver elementos $\alpha\in K_0(X\times_kX)$ como correspondencias, es decir, como endomorfismos de $K_0(X)$ dado por $x\mapsto (p_2)_*(p_1^*(x)\cdot\alpha)$ , donde $\cdot$ es la multiplicación en $K_0$ (la imagen directa $(p_2)_*$ existe porque $X$ es adecuado). La clase de la diagonal da el endomorfismo de identidad, mientras que la clase de un elemento que es imagen de $a\otimes b$ es bastante especial: es de la forma $x\mapsto \chi(x\cdot a)b$ , donde $\chi:K_0(X)\to {\mathbb Z}$ es la característica de Euler ( $\chi$ es el mapa de imagen directa $K_0(X)\to K_0(k)$ ). A partir de esto, se puede deducir que $K_0(X)$ debe ser abeliano libre de rango finito, y $a_i$ (y también $b_i$ ) forman un $\mathbb Z$ -(y de hecho, para el emparejamiento no degenerado $(x,y)\mapsto \chi(x\cdot y)$ forman bases duales). Este argumento, en cierta forma, es bien conocido en algunos círculos; esta formulación de "bases duales" aparece en el trabajo de Ivan Panin.

Así, es fácil dar ejemplos de este tipo de $X$ para lo cual $K_0(X)\otimes K_0(X)\to K_0(X\times_kX)$ no es suryectiva, por ejemplo, una curva proyectiva suave de género positivo sobre un campo algebraicamente cerrado, o (más complicado) una superficie compleja de Enriques ( $K_0$ es de generación finita, pero tiene torsión).

No conozco ningún contraejemplo de lo siguiente:

dejar $X$ sea una variedad suave (digamos, propia) sobre un campo $k$ para lo cual $K_0(X)\otimes K_0(X)\to K_0(X\times_kX)$ es un isomorfismo; entonces para cualquier variedad lisa $Y$ el mapa del producto $K_0(X)\otimes K_0(Y)\to K_0(X\times_kY)$ es un isomorfismo.

Answer 2

No tengo una respuesta completa a esto. Sin embargo, hay un argumento (que no he comprobado cuidadosamente, pero creo que funciona) que demuestra que K(XxY) = K(X) /\ L K(Y) cuando X, Y son esquemas suaves sobre k, y uno de ellos (digamos Y) es una variedad lineal. En este caso, /\ L es el producto de smash derivado sobre K(Spec k).

La clase de variedades lineales es la clase más pequeña de variedades cuasi-proyectivas tal que

1. Los espacios afines son lineales,
2. Sea X una variedad, U una subvariedad abierta e Y su complemento cerrado. Si Y y U o X son lineales, también lo es la otra.

Por ejemplo, cualquier variedad tórica es lineal.

Ahora, utilizando el triángulo exacto de localización para la variedad Y, la invariancia de la homotopía de la teoría K de los esquemas suaves (es decir, K(XxA^k) = K(X)) y el hecho de que el aplastamiento derivado con K(X) preserva los triángulos exactos, creo que se puede utilizar un cinco-lema inductivo para demostrar que K(XxY) = K(X) /\ L K(Y).

Tal vez este argumento pueda extenderse para tratar con productos de fibra más generales sobre una base general S. Pero como utiliza la invariancia homotópica de la teoría K, que no se mantiene para los esquemas singulares, y como Xx _S Y puede ser singular, esto podría traer problemas.

Sin embargo, este es un caso muy especial (Y es muy especial). Para un Y general este resultado no será cierto.