Ruta homotopy y por separado funciones continuas

Question

Dos caminos $f$ $f'$ la asignación de intervalo de $I=[0,1]$ a $X$, se dice que la ruta de homotópica si tienen el mismo punto inicial $x_0$ y el mismo punto final $x_1$, y si hay un mapa continuo $F:I\times I\to X$ tal que $$F(s,0)=f(s)$$ $$F(s,1)=f'(s)$$ $$F(0,t)=x_0$$ $$F(1,t)=x_1$$ para cada una de las $s\in I$ y cada una de las $t\in I$.

Mi pregunta es ¿por qué es necesario que $F$ ser continua en $I\times I$ y no separadamente continua? La idea es que el $F$ sólo por separado continuamente significa que para cada uno de ellos fijo $t$ tenemos que $g(s)=F(s,t)$ es continua en a $s$. En otras palabras $g(s)$ es un camino. Y para cada uno de ellos fijo $s$ tenemos que $h(t)=F(s,t)$ es continua en t. En otras palabras $h(t)$ describe cómo el punto de $F(s,0)$ viaja a través del tiempo en un camino continuo. Estas condiciones o las descripciones de $g(s)$ $h(t)$ parecen capturar la noción de "homotópica" para mí. Hay algunos patológico razón por separado continua no es bueno?

Answer 1

En este ejemplo se debe convencer de que por separado continua no es la definición correcta para un homotopy.

Considere la posibilidad de $S^1$ como el círculo unidad en el plano complejo. Tomar el mapa de $F : I \times I \to X$ dada por $$F(s,t) = \begin{cases} \exp(i \pi t), & 0 \le t \le s \le 1 \\ \exp \left(i \pi \frac{(s+1)t - 2s}{s-1}\right), & 0 \le s < t \le 1 \\\\ \end{casos}$$ $F$ es separadamente continua, $F(0,t) = \exp(-i \pi t)$, $F(1,t) = \exp(i \pi t)$, $F(s,0)=1$, $F(s,1)=-1$. Así que este es un "homotopy" entre un camino de 1 a -1, que se mueve en sentido horario alrededor del círculo unitario, y que se mueve hacia la izquierda.

En otras palabras, con su definición, $S^1$ sería simplemente conectado! Para el uso independiente de la continuidad no nos dan una homotopy teoría que se adapte a nuestra intuición.

Tenga en cuenta que $F(s,t)$, como una función de la $t$, es un camino que se mueve hacia la izquierda a lo largo del círculo unidad en la velocidad 1 es para el primer $s$ segundos y, a continuación, utiliza el tiempo restante para mover hacia la derecha todo el camino a -1. Como $s \to 1$, el sentido de las agujas del viaje es la apretó en un tiempo muy corto, hasta que a $s=1$ desaparece completamente.

El punto clave es que como $s \to 1$, $F(s,t) \to F(1,t)$ pointwise en $t$, pero no de manera uniforme en $t$, por lo que las rutas de $F(s,t)$ $F(1,t)$ no son realmente muy parecidas. Para $s$ cerca de 1, realmente no se puede justificar llamar a $F(s,t)$ un continuo "deformación" de $F(1,t)$.

Answer 2

Una razón es que queremos estar garantizado que para cualquier mapa de $g: I \hookrightarrow I \times I$$g(0) = (0,0)$$g(1) = (1,1)$, la composición de la $F \circ g$ a de ser continuo. Esto garantiza que continuamente se puede deformar partes de la ruta de acceso de forma independiente, y es una de las principales propiedades que se usan para demostrar que la multiplicación (ruta de composición) en el grupo fundamental es asociativa.