Un número infinito de primos en la forma $4n+1$ prueba

Question

Pregunta: ¿Existen infinitos primos de la forma $4n+3$ y $4n+1$ ?

Mi intento: Supongamos lo contrario, que existen finitamente muchos primos de la forma $4n+3$ , digamos que $k+1$ de ellos: $3,p_1,p_2,....,p_k$

Considere $N = 4p_1p_2p_3...p_k+3$ , $N$ no puede ser un primo de esta forma. Así que supongamos que $N$ = $q_1...q_r$ , donde $q_iP$

Alegación: Al menos uno de los $q_i$ es de la forma $4n+3$ :

Prueba de mi afirmación: $N$ es impar $\Rightarrow q_1,...,q_r$ son impar $\Rightarrow q_i \equiv 1\ (\text{mod }4)$ o $q_i 3\ (\text{mod }4)$

Si todos los $q_1,...q_r$ son de la forma $4n+1$ entonces $(4n+1)(4m+1)=16nm+4n+4m+1 = 4(\cdots) +1$

Por lo tanto, $N=q_1...q_r = 4m+1$ . Pero $N=4p_1..p_k+3$ es decir $N3\ (\text{mod }4)$ , $N$ es congruente con $1\ \text{mod }4$ que es una contradicción.

Por lo tanto, al menos uno de $q_i \equiv 3\ (\text{mod }4)$ . Supongamos que $q_j\equiv 3\ (\text{mod }4)$

$\Rightarrow$ $q_j=p_i$ para algunos $1\leq i \leq k$ o $q_j =3$

Si $q_j=p_i3$ entonces $q_j$ | $N = 4p_1...p_k + 3 \Rightarrow q_j=3$ ¡Contradicción!

Si $q_j=3$ ( $\neq p_i$ , $1\leq i \leq k$ ) entonces $q_j | N = 4 p_1...p_k + 3 \Rightarrow q_j=p_t$ para algunos $1 \leq i \leq k$ ¡Contradicción!

De hecho, debe haber también infinitos primos de la forma $4n+1$ (según mi búsqueda), pero el método anterior no funciona para su prueba. No he podido entender por qué no funciona. ¿Podría mostrarme por favor?

Saludos

Answer 1

Una forma mucho más sencilla de probar infinitos primos de la forma 4n+1.

Definamos N de forma que $N = 2^2(5*13*.....p_n)^2+1$ donde $p_n$ es el mayor primo de la forma $4k+1$ . Ahora bien, fíjate en que $N$ es de la forma $4k+1$ . $N$ tampoco es divisible por ningún primo de la forma $4n+1$ (porque k es un producto de primos de la forma $4n+1$ ).

Ahora también es útil saber que todos los primos se pueden escribir como $4n+1$ o $4n-1$ . Se trata de una prueba sencilla que consiste en que todo número es $4n, 4n+1, 4n+2$ o $4n+3$ . Así, todos los primos Impares son de la forma $4n+1$ o $4n+3$ los únicos primordiales. $4n+3$ puede escribirse como $4n-1$ y por lo tanto todos los primos Impares son de la forma $4n+1$ o $4n-1$ .

Ahora hay un teorema (podemos demostrarlo si es necesario) que dice $$x^2\equiv-a^2\pmod p$$ entonces $p\equiv1\pmod4$ o que $4m+1=p$ donde a y p son relativamente primos

Ahora bien, otra forma de enunciar este teorema es que $x^2+a^2=pk$ para algún número entero k. Obsérvese que nuestra definición de $N$ es en forma de $x^2+a^2$ por lo que debe ser igual a $pk$ donde $p\equiv1\pmod4$ . Por lo tanto, tenemos una contradicción y $p_n$ no puede ser un primo mayor de la forma $4n+1$ .

Answer 2

En realidad, existe una prueba aún más elegante que demuestra que esto es cierto para todo primos>2:

primos,p P & p>2, kQ| k=(p-1)/4 o k= (p+1)/4

Prueba: Por definición todo 4º entero, k 4, debe tener 2^2 (2 al cuadrado) como factor. Esto significa que cualquier otro entero par > 2 debe tener 2^2 como factor.

Para todos los primos p>2, el propio primo es impar y, por tanto, p-1 y p+1 son ambos pares.

Como p-1 y p+1 representan números enteros pares consecutivos, uno y sólo uno de ellos debe tener 2^2 como factores y, por lo tanto, (p±1)/4 es un número entero.

Esto se aplica a todos los primos mayores que 2.