Es de fibra de producto de variedades irreducibles (integral)?

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo y $X,Y$ variedades (es decir, integral, separados de los esquemas de finito de tipo más de $k$). Es la fibra de producto $X \times_k Y$ necesario irreductible o integral?

Tengo otro más o menos relacionadas con la pregunta:

Si $A,B$ son finitely generadas $k$-álgebras de que también son parte integrante de los dominios, es $A \otimes_k B$ integral de dominio?

Answer 1

a) Sí, el producto $X\times_k Y$ de dos variedades más de un algebraicamente cerrado campo de $k$ es una variedad. Para demostrarlo, reducir a afín variedades y para los que lo utilizan:

b) Si el campo $k$ es algebraicamente cerrado y si $A$ $B$ $k$- álgebras sin divisores de cero, entonces su producto tensor $A\otimes_kB$ también no tiene divisores de cero.
(Si $A$ o $B$ es finitely generado es irrelevante.)
Esto queda demostrado en Iitaka de la Geometría Algebraica, la página 97 (Lema 1.54)

Edit: Y si $k$ no es algebraicamente cerrado...
... no todo está perdido!

Deje $k$ ser un campo y $R$ $k$- álgebra que es un dominio y con fracción de campo $K$.
Si la extensión de $k\to K$ es separable y si $k$ es algebrically cerrado en $K$, entonces para todos los $k$-álgebras $S$ cuales son los dominios, el $k$-álgebra $R\otimes_k S$ será un dominio.
(Ten en cuenta que separables significa universalmente reducido. Si $k\to K$ es algebraica, separación coincide con la noción usual.)
Con suerte, uno de $A$ o $B$ puede desempeñar el papel de $R$ $A\otimes_k B$ será un dominio.

Como una ilustración, cualquier anillo intermedio $k\subset R\subset k(T_1,\cdots,T_n)$ (donde el $T_i$'s son indeterminates) satisface las condiciones anteriores y seguirá siendo un dominio cuando tensorized con un dominio.

Bibliografía
Para el producto algebraico de variedades recomiendo el Capítulo 4 de Milne en línea de notas.
Para el producto tensor de campos, se puede buscar en Bourbaki del Álgebra, en el Capítulo V, §17.

Nueva Edición
En Li petición de que les voy a mostrar que $X\times Y$ es irreductible.
Vamos $$X\times Y=F_1\cup F_2$$ with $F_i$ closed and consider the sets $X_i=\lbrace x\X\mid \lbrace x \rbrace\times Y\subconjunto F_i\rbrace$.
Desde $$\lbrace x \rbrace\times Y=[(\lbrace x \rbrace\times Y)\cap F_1]\cup [(\lbrace x \rbrace\times Y)\cap F_2]$$ we see, by irreducibility of $\lbrace x \rbrace\times Y$ (isomorphic to $S$), that each vertical fiber $\lbrace x \rbrace\times Y$ is completely included in (at least) one of the $F_i$'s. In other words, $$X=X_1 \cup X_2.$$ It suffices now to show that the $X_i$'s are closed, because by irreducibility of $X$ we will then have $X_1=X$ (say) and thus $X\times Y=F_1$: this will prove that indeed $X\times de$ Y es irreductible.
Closedness de $X_i$ se demuestra de la siguiente manera:
Elija un punto de $y_0\in Y$. La intersección $(X\times \lbrace y_0 \rbrace)\cap F_i$ es cerrado en $X\times \lbrace y_0 \rbrace$ y es enviado a $X_i$ por el isomorfismo $X\times \lbrace y_0 \rbrace \stackrel {\cong}{\to}X$. Por lo tanto $X_i\subset X$ es cerrado. qed.

Answer 2

Como se ha mencionado por Georges Elencwajg, el producto de fibra es también parte integrante de si $k$ es algebraicamente cerrado. En general, algunos de autor requieren de una variedad sobre cualquier campo de $k$ deben ser geométricamente integral. De esta manera, el producto de fibra de variedades es también la variedad. Como para los afín caso, sólo quiero mencionar un ejemplo que $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ no es un dominio. De hecho es isomorfo a $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$.