¿Cómo se demuestra que dos funtores no son isomorfos?

Question

Dejemos que $C$ sea la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre algún campo. Es fácil construir pares de endofunctores $F, G$ de $C$ de la misma varianza, tal que $F(V)$ y $G(V)$ tienen la misma dimensión para cada $V \in C$ pero no son naturalmente isomorfas.

Por ejemplo, podríamos tomar $G(V) := (V^*)^{\otimes 2}$ y $F(V) := (V^{\otimes 2})^*$ , donde $*$ denota el dual. O, estoy seguro de que muchos de nosotros, en algún momento, hemos intentado demostrar que $(\Lambda V)^* \simeq \Lambda(V^*)$ canónicamente, antes de darse cuenta de que es falso. Una razón convincente por la que no son canónicamente isomorfas es que no hay ninguna razón obvia, en términos de propiedades universales, por la que deberían serlo. En otras palabras: si se intenta demostrar que $(\Lambda V)^* \simeq \Lambda(V^*)$ canónicamente, lo vas a pasar mal.

Sin embargo, ¿cómo se puede explícitamente demostrar que $F$ y $G$ son no ¿Isomorfo? ¿Existe una forma sistemática de hacerlo?

Editar: Pues mis ejemplos no pueden ser peores, como señala Mariano. Pero la esencia de mi pregunta sigue en pie (tal vez sólo hay que deshacerse de la suposición de dimensionalidad finita ;))

Answer 1

Los funtores $FV=(V^*)^{\otimes 2}$ y $G(V)=(V^{\otimes2})^*$ en la categoría de los espacios vectoriales finitos y dimensionales son isomorfo. El mapa $\phi:(V^*)^{\otimes2}\to(V^{\otimes2})^*$ tal que $\phi(f\otimes g)(v\otimes w)=f(v)g(w)$ es una transformación natural (definida en toda la categoría de espacios vectoriales) que en la categoría de espacios vectoriales f.d. es un isomorfismo de funtores.

De la misma manera, $\Lambda(V^*)$ y $(\Lambda V)^*$ son canónicamente isomorfos en la categoría de espacios vectoriales f.d.

Answer 2

Esta es una forma de construir familias de endofuncionarios $F, G$ de $\text{FinVect}$ que no pueden distinguirse en base a los recuentos de las dimensiones. En primer lugar, consideremos la familia de endofunctores $V \mapsto S^n(V)$ y, en segundo lugar, considerar la familia de endofunctores $V \mapsto \Lambda^n(V)$ . El primero envía espacios vectoriales de dimensión $d$ a espacios vectoriales de dimensión ${d+n-1 \choose n}$ mientras que el segundo envía espacios vectoriales de dimensión $d$ a espacios vectoriales de dimensión ${d \choose n}$ . Ambos forman bases para el espacio de polinomios de valor entero en una variable ( $d$ ), por lo que en conjunto hay muchas dependencias lineales entre ellas. La más pequeña es que

$${d+1 \choose 2} = {d \choose 2} + d$$

lo que implica que $F(V) = S^2(V)$ y $G(V) = \Lambda^2(V) \oplus V$ no pueden distinguirse por su número de dimensiones.

Sin embargo, no son isomorfas. La razón es que para cualquier endofunctor $F$ el espacio vectorial $F(V)$ admite naturalmente la estructura de un $\text{GL}(V)$ -representación, y $S^2(V)$ y $\Lambda^2(V) \oplus V$ no son isomorfos ya que $\text{GL}(V)$ -representaciones. Más sencillamente, se puede considerar la acción de una matriz diagonal sobre $S^2(V)$ y en $\Lambda^2(V) \oplus V$ y verificar que los rastros (que son funciones simétricas ) son diferentes.

De hecho creo que todo endofunctor ( editar: definiendo una función polinómica entre espacios Hom, véase el comentario de Steve) de $\text{FinVect}$ equivale a una suma directa de Funtores de Schur por lo que todos ellos pueden distinguirse de esta manera hasta el isomorfismo. (Necesito alguna hipótesis suave sobre el campo base; creo que la característica cero es suficiente).

Answer 3

Me gustaría abordar la cuestión planteada en el título en toda su generalidad, en lugar de discutir casos individuales.

Dos funtores paralelos son simplemente objetos en una categoría de funtores. Citando a Awodey:

Una forma de demostrar que dos objetos no son isomorfos es utilizar "invariantes": atributos que se conservan mediante isomorfismos. Si dos objetos difieren por un invariante no pueden ser isomorfos. Los elementos generalizados de proporcionan una manera fácil de definir invariantes....

Así que si estás convencido de que 2 funtores no son isomorfos, trata de usar eso sensación para proporcionar invariantes o elementos generalizados en la categoría de funtores que respaldan su intuición.

Si la categoría del functor es localmente pequeña, el procedimiento anterior equivale a utilizar la incrustación de Yoneda: 2 objetos en una categoría localmente pequeña son isomorfos si y sólo si sus incrustaciones de Yoneda son isomorfas.

Sin duda, se trata de un procedimiento hábil y sistemático, pero puede que no sea tan fácil.