¿Por qué no la integración y la diferenciación de los inversos el uno del otro?

Question

La integración debe ser el inverso de la diferenciación, pero la integral de la derivada no es igual a la derivada de la integral:

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right) = f(x) \neq \int\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\right)\mathrm{d}x$$

Por ejemplo: $$\begin{align*} &\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int 2x+1\;\mathrm{d}x\right) &&= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2+x+C\right) &= 2x+1\\ &\int\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2x+1\right)\right)\mathrm{d}x &&= \int 2\;\mathrm{d}x &= 2x+C\end{align*}$$

¿Por qué no se define de forma tal que $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a = \dfrac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}x}$ donde $a$ es una constante, y $\int f(x)\;\mathrm{d}x = F(x)$? Entonces tendríamos: $$\begin{align*} &\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int 2x+1\;\mathrm{d}x\right) &&= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2+x\right) &= 2x+1\\ &\int\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2x+1\right)\right)\mathrm{d}x &&= \int \left(2+\dfrac{\mathrm{d1}}{\mathrm{d}x}\right)\;\mathrm{d}x &= 2x+1\end{align*}$$

Entonces tendríamos:

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right) = f(x) = \int\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\right)\mathrm{d}x$$

Entonces, ¿qué está mal con mi forma de pensar, y por qué no es esta la definición usada?

Answer 1

Ellos son los inversos de hasta un aditivo (arbitrario) constante (dadas ciertas condiciones). El Teorema Fundamental del Cálculo da los detalles.

Su definición es un poco confuso. Creo que puede haber entre paréntesis que faltan. Pero una razón por la que su definición no funciona puede ser visto si se utiliza $2x+2$ en lugar de $2x+1$. Terminas con el mismo problema.