Solución de la ecuación diferencial relacionada con la densidad normal

Question

Dejemos que $\phi:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ sea la densidad normal estándar, $$\phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, \forall x\in\mathbb{R}.$$ Dado $0<\sigma\le 1$ . Deseo saber si existe una solución explícita $\alpha$ que satisface la ecuación diferencial $$\alpha''(u) [\phi(u) + \frac 1\sigma \phi(u/\sigma)] - \alpha'(u) [u\phi(u) + \frac 1{\sigma^3} u\phi(u/\sigma)] - \alpha(u) [\phi(u) + \frac 1{\sigma^3} \phi(u/\sigma)] = \frac 1{\sigma^5} u\phi(u/\sigma).$$

Para $\sigma=1$ Tengo que la solución explícita para la ecuación diferencial anterior es $\alpha(u)= -\frac 14 u + (a + b \Phi(u))/\phi(u)$ donde $\Phi(u)=\int_{-\infty}^u\phi(x)dx.$ Sin embargo, cuando $\sigma<1$ realmente dificulta la búsqueda de la solución. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Tras corregir el error de mi primera respuesta, el método de resolución falla. Así que mi respuesta debe ser retirada.