¿Cuál es la diferencia entre las formas modulares de diferentes niveles?

Question

Tenemos una natural surjective grupo homomorphism:

$\phi : SL_2(\mathbb{Z}) \to SL_2(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}))$

a partir de la cual, dada cualquier subgrupo $H<SL_2(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}))$, podemos tomar el pre-imagen en $\phi$. Esto nos da una "congruencia subgrupo". Más en particular, se han

$\Gamma(n) : = \left \{\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] \equiv \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \mod n \right \} = \operatorname{Ker}(\phi)$

$\Gamma_1(n) : = \left \{ \left[ \begin{array}{cc} a& b \\ c & d \end{array} \right] \equiv \left[ \begin{array}{cc} 1 & * \\ 0 & 1 \end{array} \right] \mod n \right \} = \phi^{-1} ( U)$, U-unipotent matrices in $SL_2(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}))$

$\Gamma_0(n) : = \left \{\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] \equiv \left[ \begin{array}{cc} * & * \\ 0 & * \end{array} \right]\mod n \right \} = \phi^{-1}(T), $ T-triangular matrices in $SL_2(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}))$

Por lo que veo estas congruencia de los subgrupos en todas partes, pero nunca he encontrado una explicación para las diferencias cualitativas entre las formas modulares de estos diferentes niveles (o cualquier congruencia de los subgrupos).

Por ejemplo,

• Si $f \in S_k(\Gamma_0(n))$, frente a $f \in S_k(\Gamma_1(n))$, no esta nada dice acerca de su correspondiente invaraints? (L-función, automorphic representaciones, representaciones de Galois, jacobians, etc).

• Hay alguna diferencia entre las curvas modulares $X_{\Gamma}: = \mathbf{H} \cup P^1(\mathbb{Q})/\Gamma$, para los diferentes niveles?

• La modularidad teorema de, por ejemplo, garantiza una forma modular de nivel $\Gamma_0(n)$. Tengo que imaginar que $\Gamma_0$ fue una parte importante de esto implique Último Teorema de Fermat, pero puedo estar equivocado.

Estoy interesado en las fuentes disponibles para ayudarme a entender alguna, en todo caso, las diferencias entre estos subgrupos y el resto de la historia de las formas modulares.

Answer 1

Hay inclusiones $\Gamma(N) \subseteq \Gamma_1(N) \subseteq \Gamma_0(N)$, y, en consecuencia, hay una torre de curvas

$$X(N) \to X_1(N) \to X_0(N).$$

Estos son Galois cubiertas con grupos de Galois $\mathbb Z/N\mathbb Z$ $(\mathbb Z/N\mathbb Z)^\times$ respectivamente (esto es donde la acción de los diamantes, los operadores proviene). El más alto se está en la torre, la más formas modulares hay.

Hay varias razones por las que uno puede trabajar con una estructura de nivel en lugar de otro. Por ejemplo, $X_1(N)$ $X(N)$ son a veces más fácil de trabajar que el $X_0(N)$ porque son (compactifications de) multa de módulos de espacios, mientras que $X_0(N)$ es sólo un grueso espacio de moduli. Tener el universal propiedad es muy conveniente. La desventaja es tener que trabajar con mayores espacios de formas modulares; si usted está interesado en las formas modulares para $\Gamma_0(N)$ a que usted tiene que utilizar el subespacio que es invariante bajo Galois. Pero usualmente no hay pérdida de generalidad en el trabajo en un espacio más grande.

Si usted está trabajando en lo finito de característica, algunas estructuras de nivel son mucho mejor que otros. Por ejemplo, una curva elíptica sobre un campo finito ha $p$-torsión que es $0$ o cíclico de orden $p$, de modo tal de una curva elíptica no admitir a un nivel total $p$ estructura. Sin embargo, todavía se admite un nivel de $\Gamma_1(p)$ estructura si es ordinario.