La siguiente pregunta es sólo un juguete modelo:
Deje que $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ se Lebesgue integrable, y supongamos que para todo $0\le un<b \le1$, $$\int_a^b |f(x)|dx \le \sqrt{b}$$, a continuación, probar o refutar que $$ \sup \left\{\frac{\int_E |f|dx}{|E|^{1/2}}: E \subconjunto [0,1]\right\}<+\infty$$
Si la afirmación anterior es falsa, entonces es posible demostrar que para cualquier fijo de $0<t<1/2$, $$ \sup \left\{\frac{\int_E |f|dx}{|E|^{t}}: E \subconjunto [0,1]\right\}<+\infty$$
Motivación: Esta es una larga historia. A lo largo del siguiente, suponemos que $f$ es una función medible de un almacén abierto regulares conjunto $\Omega \subconjunto \mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$.
Sabemos que si $f$ es $L^p(\Omega) \el espacio(p>1)$, entonces por el Titular de la desigualdad, $$ \sup \left\{\frac{\int_E |f|dx}{|E|^{1-1/p}}: E \subconjunto \Omega\right\}<+\infty \quad \quad\quad\quad(*)$$Entonces, naturalmente, quería preguntar a la inversa pregunta: $espacio \$ Hace $(*)$ implica $f \in L^p(\Omega)$?
Uno de mis inteligentes amigos descubierto que $(*)$ es equivalente a $f$ es débil $L^p$. Véase la respuesta aquí: una caracterización de $L^p$ espacio.
Entonces, naturalmente, quiero saber en $(*)$, en lugar de tomar supremum sobre todos los conjuntos medibles, ¿qué pasaría si la toma de supremum sobre todos los cubos o las pelotas? Esto lleva a que el juguete modelo pregunté al principio: el juguete modelo es de $p=2, n=1$, $f$ es integrable, y el cubo es, pues, justo un intervalo.
Ahora, permítanme formular mi pregunta perfectamente como sigue: Establecer
$M_p:=\left\{f:\sup \left\{\frac{\int_E |f|dx}{|E|^{1-1/p}}: E \subconjunto \Omega\right\}<+\infty\right\}$
$\tilde{M_p}:=\left\{f:\sup \left\{\frac{\int_B |f|dx}{|B|^{1-1/p}}: \text{$B$ es un balón de $\subconjunto \Omega$}\right\}<+\infty\right\}$
$L_p^w$ := el débil-$L^p$ espacio.
$\tilde{L_p}:=\{f \en L^q(\Omega): \forall 1\le p<p\}$
Entonces mi amigo del resultado y el teorema de interpolación, $$L_p^w=M_p \subconjunto \tilde{L_p}$$También trivialmente, $M_p \subconjunto \tilde{M_p}$. Así que el objetivo final es que quiero saber la relación entre los $M_p, \tilde{M_p}$ y $\tilde{L_p}$. En particular, el juguete modelo pregunté al principio se centra en si $M_p = \tilde{M_p}$.
Una declaración equivalente de si $M_p=\tilde{M_p}$ es la siguiente:
Deje de $0<s<1$. Si $\mu$ es finito medida en $\Omega$ y absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$, y $\lim\sup _{i \rightarrow 0} \frac{\mu({B_r(x)})}{r^{ns}} \le 1, \forall x\in \Omega$ , es cierto que $sup \{\frac{\mu(E)}{|E|^s}: E \subconjunto \Omega\}<+\infty$ ?
También quiero entender a la siguiente pregunta:
$espacio \$ Si $M_p = \tilde{M_p}$ y $f \in M_p$, es cierto que $\sup \left\{\frac{\int_E |f|dx}{|E|^{1-1/p}}: E \subconjunto \Omega\right\}=\sup \left\{\frac{\int_B |f|dx}{|B|^{1-1/p}}: \text{$B$ es un balón de $\subconjunto \Omega$}\right\}?$ O ¿qué podemos decir acerca de la relación?
Por cierto, la definición de $\tilde{M_p}$ es el mismo $M^p$ definidas en Gilbarg y Trudinger en la Página 164, que es lo que se denomina Morrey Espacio. Busqué algunas referencias, pero no encontró ninguna reclamación, ya sea o no $M^p \subconjunto L^q \quad \forall 1 \le p < p$.
Tal vez estoy pensando demasiado. Deben centrarse en la solución de un problema y, a continuación, ir paso a paso.
Mi esfuerzo:
En términos de los enfoques posibles, creo que el aproximado de la continuidad de cualquier función medible y un buen cubrimiento argumento podría ser útil. También, si $f$ es integrable, entonces uno puede observar que, si $$T_pf(x):=\lim\sup_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B_r(x)|^{1-1/p}}\int_{B_r(x)}|f(y)|dy$$ es limitado en $\Omega$, entonces $$\mathcal{M}_pf(x):=\sup_{r > 0} \frac{1}{|B_r(x)|^{1-1/p}}\int_{B_r(x)}|f(y)|dy$$ también es limitada, y viceversa. También, $$T_pf(x)=0,\mathcal{H}^{s}-un.e, \forall s\ge 1-1/p$$ por Lo que el tamaño de la explosión de puntos debe ser muy pequeña, y por lo tanto un buen cubrimiento argumento puede aplicarse, al menos, no necesitamos que preocuparse de cubrir el singular de un conjunto de pelotas u otros arbituary conjuntos. Tal vez, al menos, $\tilde{M_p} \subconjunto M_q, \forall 1\le p<p$ puede ser demostrable. Tengo un montón de otras observaciones, pero es engorroso de escribir. En general, creo que estos problemas deben ser relacionados con la teoría geométrica de la medida y no son triviales.
También, mi inteligente amigo me sugiere intentar aplicar el Littlewood-Paley Teoría. Piensa en ellos como estándar de problemas en el análisis armónico.
Todas las ideas, comentarios y resultado parcial sería apreciado. No tengo idea, incluso sobre el juguete modelo propuesto.
