De cuántas maneras puede una selección que se haga de $5$ cartas?

Question

De cuántas maneras puede una selección que se haga de $5$ cartas de $5 A's, 4B's, 3C's, 2D's $$1 E$.

$ a) 60 \\ b) 75 \\ \color{verde}{c) 71} \\ d.) \text{ninguno de estos} $

Número de maneras de seleccionar los $5$ diferentes letras = $\dbinom{5}{5} = 1$ manera

Número de maneras de seleccionar $2$ similar y $3$ diferente letra = $\dbinom{4}{1}\times \dbinom{4}{3}=16$.

Número de maneras de seleccionar los $2$ similar + $2$ más similares letra y $1$ diferente letra = $\dbinom{4}{2}\times \dbinom{3}{1}=18$.

Número de maneras de seleccionar $3$ similar y $2$ diferente letra = $\dbinom{4}{2}\times \dbinom{3}{1}=18$.

Número de maneras de seleccionar $3$ similar y otro $2$ otros similares = $\dbinom{3}{1}\times \dbinom{3}{1}=9$

Número de maneras de seleccionar $4$ similar y $1$ diferente letra = $\dbinom{2}{1}\times \dbinom{4}{1}=8$

Formas de selección de

$5$ cartas similares = $1$

Total de maneras = $1+16+18+18+9+8+1= 71$

Bueno, tengo la solución, Pero yo no soy capaz de entenderlo completamente.

O podría ser una $\color{red}{\text{alternate way}}$ que sería genial.

He estudiado matemáticas a a $12$th grado.

Answer 1

Si el Orden no es importante

El número de formas de elegir los $5$ letras (si su orden es importante) es el coeficiente de $x^5$ en $$ \begin{align} &\small\overbrace{(1+x)\vphantom{x^2}}^{1\text{ E}} \overbrace{\left(1+x+x^2\right)}^{2\text{ D's}} \overbrace{\left(1+x+x^2+x^3\right)}^{3\text{ C's}} \overbrace{\left(1+x+x^2+x^3+x^4\right)}^{4\text{ B's}} \overbrace{\left(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5\right)}^{5\text{ A's}}\\ &=\frac{1-x^2}{1-x}\frac{1-x^3}{1-x}\frac{1-x^4}{1-x}\frac{1-x^5}{1-x}\frac{1-x^6}{1-x}\\ &=\frac{1-x^2-x^3-x^4+O\left(x^7\right)}{(1-x)^5}\\[3pt] &=\small\left[1-x^2-x^3-x^4+O\!\left(x^7\right)\right]\!\left[1+5x+15x^2+35x^3+70x^4+126x^5+210x^6+O\!\left(x^7\right)\right]\\[9pt] &=1+5x+14x^2+29x^3+49x^4+71x^5+90x^6+O\!\left(x^7\right)\tag{1} \end{align} $$ donde hemos usado el Teorema del Binomio para $(1-x)^{-5}$ por encima.

El coeficiente de $x^5$$(1)$$71$.

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Si el Orden es Importante

Si el orden de las letras es importante, podemos calcular la exponencial de generación de función con $$ \begin{align} &\small\overbrace{(1+x)\vphantom{\frac{x^2}{2!}}}^{1\text{ E}} \overbrace{\left(1{+}x{+}\frac{x^2}{2!}\right)}^{2\text{ D's}} \overbrace{\!\left(1{+}x{+}\frac{x^2}{2!}{+}\frac{x^3}{3!}\right)}^{3\text{ C's}} \overbrace{\!\left(1{+}x{+}\frac{x^2}{2!}{+}\frac{x^3}{3}{+}\frac{x^4}{4!}\right)}^{4\text{ B's}} \overbrace{\!\left(1{+}x{+}\frac{x^2}{2!}{+}\frac{x^3}{3!}{+}\frac{x^4}{4!}{+}\frac{x^5}{5!}\right)}^{5\text{ A's}}\\[3pt] &=\small1+5x+24\frac{x^2}{2!}+111\frac{x^3}{3!}+494\frac{x^4}{4!}+2111\frac{x^5}{5!}+8634\frac{x^6}{6!}+O\left(x^7\right)\tag{2} \end{align} $$

El coeficiente de $\frac{x^5}{5!}$$(2)$$2111$.

Answer 2

Deje $x_i$ ser el número de la carta $i$ elegido para $1\le i\le 5$, donde tenemos el número de letras en orden alfabético.

Queremos saber el número de soluciones en números enteros no negativos a la ecuación de $x_1+\cdots+x_5=5$

$\hspace{.5 in}$con las restricciones de $x_1\le5,\; x_2\le4, \;x_3\le3,\; x_4\le2, \;x_5\le1$.

Deje $S$ ser el conjunto de todas las soluciones, y deje $A_i$ el conjunto de soluciones con $x_i\ge7-i$$i=2,\cdots,5$.

Mediante la Inclusión-Exclusión, tenemos que

$\hspace{.15 in}\displaystyle\big|\overline{A_2}\cap\overline{A_3}\cap\overline{A_4}\cap\overline{A_5}\big|=|S|-\sum_{i}|A_i|+\sum_{i<j}|A_i\cap A_j|-\sum_{i<j<k}|A_i\cap A_j\cap A_k|+\cdots$

$\hspace{1.53 in}=|S|-|A_2|-|A_3|-|A_4|-|A_5|+|A_4\cap A_5|$

$\displaystyle\hspace{1.53 in}=\binom{9}{4}-\binom{4}{4}-\binom{5}{4}-\binom{6}{4}-\binom{7}{4}+\binom{4}{4}=\color{red}{71}$.

Answer 3

Ok, así que estamos rompiendo este caso por caso:

Case 1: none of our letters are the same and we pick 5 distinct letters

Case 2a: exactly 2 of the letters are the same and the other 3 are distinct.

Case 2b: 2 of the letters are the same, 2 others are the same, and the fifth is distinct.

Case 3a: exactly 3 of the letters are the same and the other 2 are distinct.

Case 3b: exactly 3 of the letters are the same and the other 2 are also the same.

Case 4: exactly 4 of the letters are the same and the other 1 is distinct.

Case 5: all 5 letters are the same.

Podemos ver que cualquier combinación debe ser uno de estos $5$ de los casos, y que no se superponen en el $5$ de los casos. Así vamos a resumir el número total de posibilidades para cada caso.

Caso 1: Si tomamos $5$ distintas letras, se elige uno de cada letra, por lo que no sólo es $1$ manera de hacer esto.

El caso 2a: en Primer lugar vamos a contar las maneras de recoger los $2$ letras que son el mismo. No puede ser E, por lo que hay sólo $4$ maneras de elegir. En segundo lugar, debemos recoger $3$ más de los restantes $4$ letras (ninguno de estos puede ser la misma letra que la primera $2$ ya que sería un caso diferente). Por lo tanto, usamos $4$ elija $3$, que resulta ser $4$ opciones. Multiplicamos estos juntos a ver que tenemos de $4\times 4=16$ opciones para el caso 1.

Caso 2b: ahora Estamos recogiendo dos pares de cuatro letras que tienen cantidades suficientes. Por lo tanto las formas de seleccionar los dos pares es $4$ elija $2$. La quinta carta es cualquiera de los restantes $3$ letras, así que tenemos $6\times 3=18$ para este caso.

Caso 3a: de la misma manera, sólo hay $3$ formas para recoger $3$ que corresponde a las letras. A continuación, se procede a elegir el otro $2$ $4$ opciones, por lo que se multiplican $3$ $4$ elija $2$ conseguir $3\times 6=18$ opciones para caso 3.

Caso 3b: Hay $3$ maneras de escoger el triplete y el otro par sólo ha $3$ opciones también, ya que no puede ser la misma letra que el triplete (que sería el caso 5). Por lo tanto, hay $3\times 3=9$ posibilidades.

Caso 4: Esperemos que siga el patrón: sólo hay un $2$ formas para recoger $4$ de la misma carta, y $4$ formas de seleccionar la quinta carta, así que tenemos $2\times 4=8$ para este caso.

Caso 5: por último, sólo hay una manera de elegir el $5$ del mismo número.

Sumar esos juntos conseguimos $1+16+18+18+9+8+1=71$ opciones. Para mí, este es el enfoque más sencillo una vez que lo entienda.

Answer 4

Segunda línea: Usted puede conseguir 2 de un tipo de a,B,C o D, de modo $4\choose 1$. A continuación, ${4\choose3}$ selecciona 3 cartas diferentes de los 4 tipos aún no se han seleccionado, y, finalmente, aplicar el principio de la multiplicación.

Segunda y última línea: 4 de un solo tipo de a o B, por lo ${2\choose1}$, más 1 selección de los 4 restantes tipos, ${4\choose 1}$, y se multiplican.

Usted debe ser capaz de entender el restante a lo largo de líneas similares.

Answer 5

Bien, usted podría martillo sólo a través de todas las posibilidades. (Usted también podrá apreciar por qué los accesos directos están allí).

Número de maneras de seleccionar 5 cartas diferentes:
ABCDE (1)

Número de maneras de seleccionar 2 similar y 3 letra diferente:
AABCD AABCE AABDE AACDE
BBCDE ABBCD ABBCE ABBDE
ACCDE ABCCD ABCCE BCCDE
ABCDD ABDDE ABCDD BCDDE (16)

Número de maneras de seleccionar 2 como + 2 más similares carta y 1 letra diferente:
AABBC AABBD AABBE
AACCD AACCE AABCC
AABDD AACDD AADDE
BBCCD BBCCE ABBCC
ABBDD BBCDD BBDDE
ACCDD BCCDD CCDDE (18)

Número de maneras de seleccionar 3 similar y 2 letras diferentes:
AAABC AAABD AAABE AAACD AAACE AAADE
ABBBC ABBBD ABBBE BBBCD BBBCE BBBDE
ABCCC ACCCD ACCCE BCCCD BCCCE CCCDE (18)

Número de maneras de seleccionar 3 similar y otro 2 otro similar:
SERÁ AAABB AAACC AAADD
AABBB BBBCC BBBDD
AACCC BBCCC CCCDD (9)

Número de maneras de seleccionar 4 similar y 1 letra diferente:
AAAAB AAAAC AAAAD AAAAE
ABBBB BBBBC BBBBD BBBBE (8)

Número de maneras de seleccionar 5 cartas similares:
AAAAA (1)

Veamos sólo uno de estos conjuntos para ver si podemos tener una idea de la nomenclatura:

Número de maneras de seleccionar 3 similar y 2 diferentes:

$$\dbinom{4}{2}\times \dbinom{3}{1}=18$$

Esta es leer "$4$ elija $2$ veces $3$ elija $1$." Esta es la abreviatura de:

$$\frac{4!}{2!(4-2)!}\times\frac{3!}{1!(3-1)!}$$

la cual se caracteriza por:

$$\frac{4\times 3\times 2 \times 1}{2 \times 2 \times 1} \times \frac{3\times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 18$$

Bien, pero ¿por qué?

Uno de esos "elige" se refiere a la 2 similares, y el otro a las 3 similar. Tenga en cuenta que todos ellos están establecidos en los 3 grupos de 6.

Tal vez voy a volver más tarde para ir por encima de la teoría en más detalle....