Una aplicación del lema de J.-L. Lion

Question

Dejemos que $X,Y$ y $Z$ sean tres espacios de Banach con normas $\|\cdot\|_X$ , $\|\cdot\|_Y$ , $\|\cdot\|_Z$ . Supongamos que $X\subset Y$ con "inyección" compacta y que $Y\subset Z$ con inyección continua. A continuación,

$$\forall\epsilon>0, \exists C_{\epsilon}\geq0 $$

Satisfaciendo $$\|u\|_Y\leq \epsilon \|u\|_X+C_{\epsilon}\|u\|_Z \ \ \forall u \in X.$$

Mi pregunta es

I) ¿Dónde puedo encontrar una prueba de este resultado?

II) Como consecuencia de ello cómo demostrar

$$\max_{[0,1]}|u|\leq \epsilon\max_{[0,1]}|u'|+C_{\epsilon}\|u\|_{L^1{[0,1]}} \forall \in C^1({[0,1]})?$$

Answer 1

Si el resultado no fuera cierto, podríamos encontrar $\varepsilon_0>0$ y una secuencia $\{u_n\}\subset X$ tal que $\lVert u_n\rVert_Y=1$ y $1\geq \varepsilon_0\lVert u_n\rVert_X+n\lVert u_n\rVert_Z$ . Dado que la secuencia $\{u_n\}$ está acotado en $X$ y la inclusión $X\subset Y$ es compacto, podemos encontrar una subsecuencia denotada $\{v_k\}$ que converge a $v$ en $Y$ . Dado que la inclusión $Y\subset Z$ es continua, $v_n\to v$ en $Z$ . Esto da una contradicción ya que $\lVert v_k\rVert_Z\leq \frac 1k$ así que $v=0$ pero $\lVert v_k\rVert_Y=1$ así que $\lVert v\rVert_Y$ .

Para la segunda pregunta, tome $X$ el espacio de Banach de las funciones continuamente diferenciables dotadas de la norma $\lVert u\rVert_X:=\lVert u\rVert_{\infty}+\lVert u'\rVert_{\infty}$ , $Y$ el espacio de las funciones continuas sobre $[0,1]$ dotado de la norma $\lVert u\rVert_Y:=\lVert u\rVert_{\infty}$ y $Z=L^1[0,1]$ con la norma natural. Para un $\varepsilon>0$ obtenemos una constante $K_{\varepsilon}$ tal que para todo $u\in X$ : $\lVert u\rVert_{\infty}\leq \varepsilon(\lVert u\rVert_{\infty}+\lVert u'\rVert_{\infty})+K_{\varepsilon}\lVert u\rVert_{L^1}$ Así que para $\varepsilon< 1$ $$(1-\varepsilon)\lVert u\rVert_{\infty}\leq \varepsilon\lVert u'\rVert_{\infty}+K_\varepsilon\lVert u\rVert_{L^1},$$ y así $$\lVert u\rVert_{\infty}\leq \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}\lVert u'\rVert_{\infty}+\frac{K_{\varepsilon}}{1-\varepsilon}\lVert u\rVert_{L^1}.$$