¿Cuántos caminos existen entre dos puntos del plano?

Question

Arreglar los distintos $a,b \in \mathbb {R}^2$ . En términos de cardinalidad, los números de beth ), ¿cuántas funciones continuas distintas $f : [0,1] \rightarrow \mathbb {R}^2$ satisfactoria $f(0)=a, f(1)=b$ ¿están ahí? (Presumiblemente, la respuesta es independiente de cuál $a,b$ son elegidos.)

Parece claro que la respuesta es $ \beth_1 $ o $ \beth_2 $ .

Answer 1

Claramente hay al menos $ \beth_1 $ caminos: para cualquier $x \in (0,1)$ consideren el camino que se encuentra en $a$ hasta que el tiempo $x$ y luego se dirige hacia $b$ a velocidad constante. Para el límite superior, observe que una función continua de $[0,1]$ a $ \Bbb {R}^2$ está determinado por sus valores en puntos racionales, por lo que hay a lo sumo $( \beth_1 ^2)^{ \aleph_0 }= \beth_1 $ tales funciones.

Answer 2

Sólo hay $ \beth_1 $ funciones continuas de $[0,1]$ a $ \Bbb R^2$ así que no puede haber más de $ \beth_1 $ para ver esta nota que cada dos funciones continuas que coinciden en un conjunto denso son iguales, como $[0,1]$ es separable hay un conjunto contable que "decide" los valores de la función. Así que no hay más que $( \beth_1 )^{ \aleph_0 }= \beth_1 $ funciones continuas.

Claramente hay $ \beth_1 $ porque tomar cualquier $c \in\Bbb R^2$ hay un camino lineal a trozos, de tal manera que $f(0)=a,\ f( \frac12 )=c,\ f(1)=b$ . Hay $ \beth_1 $ tal $c$ por lo tanto, hay exactamente $ \beth_1 $ muchos caminos.