$$\sum_{n=0}^{\infty}\ \int_{\pi/4}^{\pi/3}\sin^{n}x (1-\sin x)^2 dx$$
Dejemos que $g_n = \sin^{n}x (1-\sin x)^2$
$g_n$ es una secuencia de funciones medibles y $g_n \ge 0$ por lo que aplicando el Teorema de Beppo Levi obtenemos -
$$= \int_{\pi/4}^{\pi/3}\sum_{n=0}^{\infty}\sin^{n}x (1-\sin x)^2 dx$$
$$= \int_{\pi/4}^{\pi/3}(1-\sin x)^2 \sum_{n=0}^{\infty}\sin^{n}x dx$$
Ahora $\sin^{n}x < 1$ para $x \in (\pi/4, \pi/3)$ por lo que tenemos una serie geométrica y por lo tanto
$$\sum_{n=0}^{\infty}\sin^{n}x = \frac{1}{1 - \sin x}$$
Esto nos da -
$$= \int_{\pi/4}^{\pi/3}(1-\sin x)^2 \frac{1}{1 - \sin x} dx$$
$$= \int_{\pi/4}^{\pi/3}(1-\sin x)dx$$
$$= x + \cos x \mid_{\pi/4}^{\pi/3}$$
$$\frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
¿Es esto correcto? En particular, ¿tengo las condiciones correctas para aplicar el Teorema de Beppo Levi?
