Para lo cual $n$ ¿existe un grupo de orden $n^2$ sin un subgrupo de orden $n$ .
Estos grupos no pueden ser nilpotentes.
Esta pregunta está relacionada con Sudokus como tablas de composición de grupos finitos .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tengo la sensación de que no se puede decir mucho en general, pero aquí hay una familia infinita de ejemplos.
Dejemos que $p$ sea un primo impar tal que $3$ divide $p+1$ (por ejemplo $p = 5$ ).
Un ejemplo es $G = A_4 \times ((C_p)^2 \rtimes C_3)$ donde el producto semidirecto es no trivial. Entonces $G$ tiene orden $(6p)^2$ pero $G$ no tiene ningún subgrupo de orden $6p$ .
Prueba: Dejemos que $H$ sea un subgrupo de orden $6p$ . Entonces $H$ tiene un subgrupo de orden $2$ . Dado que cualquier subgrupo de este tipo está contenido en el $A_4$ se deduce que $H \cap A_4$ tiene un orden divisible por $2$ . Ahora $A_4$ no tiene ningún subgrupo de orden $6$ Así que $H \cap A_4$ debe tener orden $2$ .
Ahora bien, tenga en cuenta que como $3$ no divide $p-1$ , cualquier grupo de orden $3p$ es cíclico. Así, $H$ contiene un elemento de orden $3p$ . No hay ningún elemento de este tipo en $(C_p)^2 \rtimes C_3$ por lo que debe ser de la forma $xy$ , donde $x \in A_4$ tiene orden $3$ y $y \in (C_p)^2 \rtimes C_3$ tiene orden $p$ . Pero entonces $x \in H \cap A_4$ , una contradicción ya que $H \cap A_4$ tiene orden $2$ .
Lo anterior da ejemplos para $n = 30, 66, 102, 138, \ldots$
Con GAP es posible comprobar que $n = 28$ también da ejemplos, por ejemplo $\operatorname{SmallGroup}(784, 160)$ y $\operatorname{SmallGroup}(784, 162)$ . No estoy seguro de que haya ejemplos para los más pequeños $n$ .
Onorio Catenacci
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Sólo para ampliar mi comentario, el más pequeño $n$ para el cual esto ocurre es $n=24$ y el único ejemplo de un grupo de orden $24^2$ sin ningún subgrupo de orden $24$ es ${\mathtt{SmallGroup}}(576,8661)$ un producto semidirecto $N \rtimes C_9$ , donde $N$ es abeliano elemental de orden $64$ y el $C_9$ actúa irreduciblemente sobre $N$ .
Es un grupo de Frobenius de grado $64$ y también se puede acceder a él como $\mathtt{PrimitiveGroup}(64,1)$ .
