solución general de la ecuación de $\frac{dy}{dx} =\exp(y/x)$

Question

Cómo puedo obtener la solución general de la ecuación

a) $\frac{dy}{dx} = \exp(y/x)$

b) $\frac{dy}{dx} = \exp(x-y)$ y $y=2$ cuando $x = 0$

He probado b) primera:

Se trata de una primer orden ordinaria ecuación diferencial no lineal, que es separable. Solución general: $y(x) = \ln(C+e^x)$

Encontrar C, tenemos:

$$2 = \ln(C + e^0)$$

$$ 2 = \ln(C + 1) $ $ $$e^2 = C+1 $ $ $$C = e^2 - 1 $ $ Particular solución: $$y(x) = \ln(e^2 -1 + e^x)$ $

¿Es que corregir la solución para b)? Me quedé con una), ayuda por favor.

Answer 1

un)

Enfoque $1$:

Que $u=\dfrac{y}{x}$,

Entonces $y=xu$

$\dfrac{dy}{dx}=x\dfrac{du}{dx}+u$

$\therefore x\dfrac{du}{dx}+u=e^u$

$x\dfrac{du}{dx}=e^u-u$

$\dfrac{dx}{x}=\dfrac{du}{e^u-u}$

$\int\dfrac{dx}{x}=\int\dfrac{du}{e^u-u}$

$\ln x=\int^u\dfrac{dt}{e^t-t}+c$

$x=Ce^{\int^\frac{y}{x}\frac{dt}{e^t-t}}$

Enfoque $2$:

$\dfrac{dy}{dx}=e^\frac{y}{x}$

$\dfrac{dx}{dy}=e^{-\frac{y}{x}}$

Que $u=\dfrac{x}{y}$,

Entonces $x=yu$

$\dfrac{dx}{dy}=y\dfrac{du}{dy}+u$

$\therefore y\dfrac{du}{dy}+u=e^{-\frac{1}{u}}$

$y\dfrac{du}{dy}=e^{-\frac{1}{u}}-u$

$\dfrac{dy}{y}=\dfrac{du}{e^{-\frac{1}{u}}-u}$

$\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{du}{e^{-\frac{1}{u}}-u}$

$\ln y=\int^u\dfrac{dt}{e^{-\frac{1}{t}}-t}+c$

$y=Ce^{\int^\frac{x}{y}\frac{dt}{e^{-\frac{1}{t}}-t}}$

b)

$\dfrac{dy}{dx}=e^{x-y}$

$\dfrac{dy}{dx}=e^xe^{-y}$

$e^y~dy=e^x~dx$

$\int_2^ye^y~dy=\int_0^xe^x~dx$

$[e^y]_2^y=[e^x]_0^x$

$e^y-e^2=e^x-1$

$e^y=e^x+e^2-1$

$y=\ln(e^x+e^2-1)$

Answer 2

Establece $y=xu$, $y'=xu'+u$ y la ecuación de una) se transforma en $$xu'+u=e^u \qquad \Longrightarrow \qquad xu'=e^u-u.$ $ esto es obviamente separable, por lo tanto la solución implícitamente se da por cuadraturas $$\int^{y/x}\frac{du}{e^u-u}=\int\frac{dx}{x}=\ln x+\operatorname{const}.$ $ sin embargo el integral de la izquierda parece no ser expresable en términos de funciones especiales elementales o clásicas.