Existencia de una cubierta mínima

Question

Soy muy consciente de que para la secuencia $x_n=\frac{1}{n}$ , $\text{inf }x_n=0$ pero $0 \notin (x_n)$ . Esto me hizo pensar en algo similar pero cuando ya no estamos pensando en la existencia de un número en una secuencia sino en algo un poco diferente. Consideremos la definición de medida exterior para un conjunto $E \subset\mathbb{R}^d$ ,

$$m_*(E)=\text{inf }\sum_{j=1}^\infty |Q_j|$$

donde el mínimo se toma sobre todas las coberturas contables $E\subset \bigcup_{j=1}^\infty Q_j$ por cubos cerrados. ¿Implica esto necesariamente que hay una cubierta $\{Q_\alpha^*\}_\alpha$ tal que

$$\text{inf }\sum_{j=1}^\infty \left|Q_j\right|=\sum_{j=1}^\infty \left|Q_j^*\right|$$

Sospecho que no siempre es así. Me pregunto lo siguiente:

$1.$ ¿Se pueden encontrar ejemplos de un conjunto $E\subset \mathbb{R}^d$ (no finito) tal que existe una cubierta "mínima" $\{Q_\alpha^*\}$ ?

$2$ . ¿Qué condiciones - si las hay - en $E$ ¿obligar a que haya siempre una cobertura tan "mínima"?

$3$ . ¿Qué pasa cuando se elimina la restricción de $E \subset \mathbb{R}^d$ ? ¿Existen casos en los que claramente se pueden/no se pueden encontrar tales coberturas "mínimas" para espacios métricos generales?

Answer 1

Si $X$ es un conjunto nulo incontable, entonces no puede tener una cobertura mínima. Un conjunto gordo de Cantor tampoco puede tener una cobertura mínima, ya que todo cubo cerrado no trivial se saldrá de él.

Si $X \subseteq \mathbb{R}^d$ tiene una medida exterior finita y $\{Q^{\star}_n : n \geq 1\}$ es una cubierta mínima de $X$ entonces $X$ es un subconjunto de medida externa completa de $Y$ donde $Y = \bigcup \{Q^{\star}_n : n \geq 1\}$ . ¿No es ésta una caracterización de tales conjuntos, a saber, conjuntos con medida exterior completa en una unión contable de cubos? ¿O conjuntos que son la unión de un número contable de subconjuntos de cubos de medida exterior completa?

En la línea real esto sólo equivale a ser un subconjunto de medida externa completa de la unión de un conjunto abierto y un conjunto contable.

Answer 2

1. Si $E$ es la unión contable de cubos disjuntos por supuesto tienes que el mínimo se alcanza. Esto también es cierto si los cubos tienen intersección de medida cero (en lugar de ser realmente disjuntos) de modo que pueden tocarse en los lados. Esto sigue siendo cierto también si se quita de $E$ un conjunto de medida cero.

2. Las condiciones suficientes se explican en 1. Creo que también podrían ser necesarias... pero no he investigado los detalles.

3. ¿qué son los cubos en un espacio métrico general? Deberías usar bolas, o referirte al diámetro de los conjuntos de cobertura, como se hace con la definición de medida de Hausdorff...

Answer 3

En particular, existe una cobertura mínima para cualquier conjunto abierto. Esto se deduce porque cualquier conjunto abierto puede dividirse en una unión contable de cubos semiabiertos de la forma $\bar{x}/2^i + [0,1/2^i)^k$ donde $\bar{x} \in \mathbb{Z}^k$ . Los cierres de estos cubos darían la cobertura mínima.