Mapa conformal de un lune en el disco de la unidad en $\mathbb{C}$

Question

En mi complejo análisis preliminar de esta mañana me invitaron a dar un mapa de conformación de la región $L=\{z\in\mathbb{C}:|z-i|<\sqrt{2},|z+i|<\sqrt{2}\}$, un lune con vértices en a $-1$ $1$ a la unidad de disco $\mathbb{D}=\{z:|z|<1\}$. Traté de enviar a $L$ a la mitad superior del plano por el Möbius transformar el envío de $(-1,0,1)$$(0,i,\infty)$. Entonces compuse con la Cayley de transformación para llegar a la unidad de disco.

Mi pregunta es: ¿mi primer mapa de hacer lo que yo quiero(presumiendo que he calculado correctamente)?

Para ser breve, hace la transformación de Möbius que tarda $(-1,0,1)$ $(0,i,\infty)$enviar $L$ a la mitad superior del plano?

Answer 1

El mapa enviar a $(-1,0,1)$ $(0,i,\infty)$está dado por $i = e^{i\pi/2}$ los tiempos de la cruz proporción de $[z,0,-1,1] = \frac{z+1}{z - 1} : \frac{1}{-1}$, por lo que es $$\tilde{\phi}(z) = e^{i\pi/2}\cdot \frac{1+z}{1-z}.$$ Es fácil ver geométricamente (o por un cálculo directo) que $\tilde\phi(L)$ es el cuadrante $\{z:\,\operatorname{Im}{z} \gt |\operatorname{Re}{z}|\}$ desde los círculos $|z-i|=\sqrt{2}$ $|z+i|=\sqrt{2}$ son enviados a las líneas de $\{\operatorname{Im}{z} = \operatorname{Re}{z}\}$$\{\operatorname{Im}{z} = -\operatorname{Re}{z}\}$. Tenga en cuenta que los ángulos en los vértices de la lune son iguales a $\pi/2$.

Es más conveniente trabajar con $\displaystyle\phi(z) = e^{i\pi/4}\cdot \frac{1+z}{1-z}$ que envía a $L$ para el cuadrante $\{z:\operatorname{Re}{z}, \, \operatorname{Im}{z}\gt 0\}$, entonces el cuadrado para llegar a la mitad superior del plano y aplicar la Cayley-transfom $\displaystyle\kappa(z) = \frac{z-i}{z+i}$ para llegar a la unidad de disco.

La solución a tu problema, entonces es $\kappa((\phi(z))^2)$, que se puede calcular usted mismo si es necesario.

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El procedimiento general es, sucintamente, explicó en GEdgar la respuesta.

Answer 2

Sólo para reunir respuestas de todos y terminar cosas de $f: z\mapsto \frac{1+z}{1-z} $ sends $-1$ to $0$ and $1$ to $\infty$. Because $ f:(-1,1) \to(0,+\infty)$, the sector is symmetric about $\mathbb {R} ^+$. Since $f$ is conformal, it preserves the right angle at which the circles cross, so the sector has a right angle. Therefore, $g:z\mapsto z^2$ maps the sector to the right half-plane. Then, $h:z\mapsto\frac{z-1}{z+1}$ mapas del mitad-plano derecho en el disco de la unidad. Por lo tanto, $$ h\circ g\circ f:z\mapsto\frac {2z} {1 + z ^ 2} $$ debe asignar el lune dado al disco de la unidad.

Answer 3

Theo tiene razón. Para un general lune: primero aplicar una transformación fraccional lineal mapear las dos esquinas (vértices, cuernos, usted los llama) a $0$ y $\infty$. El resultado es un sector. Luego aplicar un poder para obtener un plano medio. Entonces appy una transformación fraccional lineal para obtener un disco.