Pregunta de "Cómo demostrarlo

Question

A continuación, la pregunta del libro mencionado anteriormente:

Supongamos que $f : A \rightarrow B$ y $R$ es una relación de equivalencia en $A$ . Diremos que $f$ es compatible con $R$ si $∀x \in A\forall y ∈ A(xRy \rightarrow f(x) = f(y))$ . Supongamos que $f$ es compatible con $R$ . Demostrar que existe una función única $h : A/R \rightarrow B$ tal que para todo $x ∈ A, h\left([x]_R\right)=f(x)$ .

A continuación, mi intento de resolver este problema:

Prueba de la existencia de la función: Sea $h=\{(X,y)\in A/R\times B|\exists x\in X(f(x)=y)\}$ . Sea $X=([x]_R)$ sea un elemento arbitrario de $A/R$ y $x'$ algún elemento de $X$ Así que $x'Rx$ . Desde $f$ es compatible con $R$ $(f(x)=f(y))$ Así que $f(x')=f(x)\in B$ . Así, $([x]_R,f(x))\in h$ .

Demostración de la unicidad de la función: Sea j una función tal que $j([x]_R)=f(x)$ . Eso significa que podemos encontrar algunos $[x]_R \in A/R$ tal que $f(x)=y$ . Desde $[x]_R\in A/R$ y $y\in B$ , $([x]_R,f(x))\in h$ Así que $j\subseteq h$ . Por un razonamiento similar, $h\subseteq j$ . Así que $h$ es único.

Quiero preguntar eso: 1)¿Es correcta mi prueba sobre la existencia de la función? 2)¿Es correcta mi prueba sobre la unicidad? Básicamente no tengo ni idea de lo que estoy demostrando para la unicidad de la función...

Por favor, explica y da algunas pistas si hay algún error en la prueba anterior. Gracias de antemano.

Answer 1

Hay pruebas que hacen menos creíble un hecho más o menos evidente. La suya es de este tipo.

Puede haber como máximo una función $h:\ A/R\to B$ que satisface $$h\bigl([x]_R\bigr)=f(x)\qquad\forall x\in A\ ,\tag{1}$$ ya que su valor en cualquier clase $[x]_R$ vendría dado por $(1)$ .

El verdadero problema es si $(1)$ define en realidad una función sobre $A/R$ . Del tratamiento de las clases de equivalencia sabemos lo siguiente: Dado un elemento $X\in A/R$ hay un representante $x\in A$ de $X$ pero esto $x$ no está determinada de forma única. Cuando ambos $x$ , $x'\in A$ Representar a $X$ entonces, por un lado $X=[x]_R=[x']_R$ y por otro lado $xRx'$ . En este caso, por la suposición de $f$ tenemos $f(x')=f(x)$ para que $(1)$ define el mismo valor para $h(X)$ Si utilizamos $x$ o $x'$ para calcularlo.

Answer 2

En su definición de $h, X$ es un subconjunto de $A/R$ por lo que ponerlo como primer elemento de un par ordenado es extraño. Luego, en la segunda frase $X$ es un elemento de $A/R$ . El pensamiento es correcto: hay que demostrar que si se aplica la función a dos elementos de una clase de equivalencia se obtiene el mismo resultado.

Para la prueba de unicidad, se podría argumentar que como no hubo ninguna elección en la construcción la función debe ser única. De lo contrario, supongamos que hay una $j([x]_R)$ que no está de acuerdo con $h$ . Debe haber al menos un $[x']_R$ donde $h([x']_R) \neq j([x']_R)$ . Pero eso significaría $j([x']_R) \neq f(x')$ lo que contradice la definición de $j$ .