Me han dicho que, dado un nudo de proyección, hay una manera de asociar un sistema de estadística, de tal manera que la función de partición del sistema se corresponde con el polinomio de Jones de la original nudo.
Tengo un áspero comprensión de cómo el gráfico asociado se obtiene (color de las regiones de tablero de ajedrez y poner un vértice en cada región, los extremos son los cruces de conexión de las regiones y se le asigna un signo más o menos dependiendo de la travesía tipo), pero no sé cómo conseguir que la función de partición asociada.
Estoy buscando una explicación detallada de cómo obtener el polinomio de Jones de un nudo a través de la función de partición de los asociados del sistema estadístico - un ejemplo sencillo sería especialmente útil.
EDIT: Como sugiere Daniel Moskovich, miré a Jones' explicación aquí, pero cuando realmente hacer un cálculo puedo conseguir algo diferente de la habitual Jones polinomio.
La siguiente imagen de la unknot:
Esto corresponde a la gráfica:
donde el borde se le asigna un signo negativo debido a que el tipo de cruce. A continuación, la fijación de $Q \in \mathbb{N}$, la función de partición de la Q-estado Potts modelo está dada por $$Z = \sum_{states} \, \prod_{edges} \omega_{\pm}(\sigma, \sigma ')$$ Jones afirma que la elección $$\omega_{\pm}(\sigma \sigma ') = \begin{cases} t^{\pm 1} &\mbox{if } \sigma = \sigma ' \\ -1 & \mbox{if } \sigma \not = \sigma ' \end{casos}$$ da el polinomio de Jones ("hasta una simple normalización") al $Q = 2 + t + t^{-1}$. Para el nudo sin embargo, la función de partición que se obtiene es $$Z = Qt^{-1} - Q(Q-1) = -t^{-1} - 3 - 3t - t^2 $$ Por otro lado, el polinomio de Jones de la Unknot debe ser de 1, por lo que claramente necesito un poco de factor de normalización. Por desgracia, no puedo entender la forma general de la normalización de los factores necesarios, y no lo he visto escrito en ninguna parte.
