Y

Question

Sólo para dar algunos ejemplos, tenemos que

$$\eqalign{ & \int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{s - 1}}}}{{{e^x} - 1}}dx} = \Gamma \left( s \ \ derecho)\zeta \left( s \ \ derecho) \cr & \int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{s - 1}}}}{{{e^x} + 1}}dx} = \left( {1 - {2^{1 - s}}} \right)\Gamma \left( s \ \ derecho)\zeta \left( s \right) =\eta(s)\Gamma(s) \cr & \int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{s - 1}}}}{{{e^x}\left( {{e^x} - 1} \right)}}dx} = \Gamma \left( s \ \ derecho)\left( {\zeta \left( s \right) - 1} \right) \cr & \int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{m-1}}{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}}}dx} = \Gamma \left( {s } \right)\zeta \left( s-1 \right)\cr & \int\limits_0^\infty {\frac{{{e^x}{x^{s - 1}}}}{{{{\a la izquierda( {1 + {e^x}} \right)}^2}}}} = \Gamma \left( s \ \ derecho)\eta \left( s-1 \right) \cr} $$

¿Hay alguna teoría que nos permite afirmar que cualquier integrante de la forma

$$\int\limits_0^\infty {F\left( {\frac{1}{{{e^x} - 1}},{e^x},{x^s}} \right)dx} $$

tendrá necesariamente que ser evaluado en términos de$\zeta$$\Gamma$?

Answer 1

Puedo ofrecer la siguiente observación. Considere las siguientes identidades \begin{align} \frac{1}{e^{x} - 1} = \sum_{k \geqslant 0} e^{-kx}, \quad \frac{1}{e^{x} + 1} = \sum_{k \geqslant 1} (-1)^{k + 1} e^{-kx} \quad \text{and} \quad \int_{0}^{\infty} x^{s} e^{kx} \ d^{\times} x = \Gamma(s) \, k^{-s}, \end{align} donde $d^{\times} x = \frac{dx}{x}$ es la Distancia invariante en la medida en $\mathbb{R}$. Para $\mathsf{Re}(s) > 1$, $\mathsf{Re}(a) < 1$ y $a \not \in \mathbb{Z}$, uno tiene \begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s} e^{a x}}{e^{x} - 1} \ d^{\times} x & = \int_{0}^{\infty} \sum_{k \geqslant 1} x^{s} e^{(a - k) x} \ d^{\times} x \\ & = \Gamma(s) \sum_{k \geqslant 1} (k - a)^{-s} \\ & = \Gamma(s) \zeta(s,1-a), \end{align} donde $\zeta(s,1-a)$ denota Hurwitz zeta función. Del mismo modo, uno tiene \begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s} e^{a x}}{e^{x} + 1} \ d^{\times} x & = \int_{0}^{\infty} \sum_{k \geqslant 1} (-1)^{k+1} x^{s} e^{(a - k) x} \ d^{\times} x \\ & = \Gamma(s) \sum_{k \geqslant 1} (-1)^{k+1} (k - a)^{-s} \\ & = \Gamma(s) 2^{-s} \left( \zeta(s,\tfrac{1-a}{2}) - \zeta(s,1 - \tfrac{a}{2}) \right). \end{align} El intercambio de las sumatorias y el signo integral está permitido desde las sumatorias son absoluta y uniformemente convergente en sus dominios. Estas dos fórmulas generalizar los dos primeros de su citado fórmulas. El tercero sigue por la división de la integral en dos usando fracciones parciales y la integral de la fórmula de la función Gamma.