Le site Hamiltoniano es la energía, que es sólo un componente de un cuatro-vector y por lo tanto no Invariante de Lorentz.
Le site Lagrangiano es el Transformación de Legendre del Hamiltoniano y me preguntaba si hay alguna buena razón por la que obtenemos a través de la transformada de Legendre algo invariante?
La respuesta anterior es muy buena, pero creo que se puede simplificar un poco.
En la mecánica de partículas, el Lagrangiano $L$ es $$L = p\dot{q} - H$$ Así que veamos esto en la relatividad especial. Obtenemos, con $p = \gamma m v$ , $\dot{q} = v$ et $H = E = \gamma mc^{2}$ , $$L = \gamma mv^{2} - \gamma mc^{2} = - \gamma mc^{2}(1 - (v/c)^{2}) = - mc^{2}/\gamma$$ No es que $L$ es un escalar (que es lo que pensé originalmente), pero que $\int L\,dt$ es un escalar. Y esto es fácil, porque $$\int L\,dt = -\int (mc^{2}/\gamma)\,dt = - \int mc^{2}\,d\tau$$ donde $\tau$ es el tiempo adecuado. Esta integral es claramente invariante, como deberíamos desear para la acción.
El Lagrangiano es lo que se integra sobre el espaciotiempo en la acción, es decir, tiene que ser una 4 forma. Como tal, es necesariamente un (pseudo)escalar bajo transformaciones de Lorentz.
Al preguntarse por las transformaciones de Lorentz y demás, el Hamiltoniano no es, como objeto no covariante de Lorentz, un buen punto de partida, por cierto. A menudo es mejor empezar con el Lagrangiano que hace que la covarianza de Lorentz de la teoría se manifieste.
Todo lo que dices es correcto, pero lamentablemente no responde a mi pregunta. Ya escribí en mi pregunta que el hamiltoniano no es invariante y soy consciente de que, por ejemplo, en la QFT utilizamos el lagrangiano en su lugar. La conexión entre ambos es que el lagrangiano es la transformada de Legrendre del hamiltoniano. Mi pregunta era/es: ¿Por qué funciona esto? En otras palabras: ¿Por qué obtenemos algo invariante (el lagrangiano) de algo no invariante (el hamiltoniano) mediante la transformada de Legendre?
@Tim Esa es la manera equivocada de verlo. Aquí hay una forma mejor: Como explica la respuesta de ACuriousMind, el lagrangiano debe ser invariante de Lorentz. Una vez que tomas su transformada de Legendre para obtener un hamiltoniano, esto rompe la simetría de Lorentz. Dicho de otro modo: La única clase de hamiltonianos interesantes son los que son transformaciones de Legendre de lagrangianos invariantes de Lorentz.
Aquí daremos nuestra interpretación de la pregunta de OP (v4).
Suponemos que la definición de covarianza de Lorentz de OP es que las ecuaciones de movimiento (eom) de la teoría son covariantes de Lorentz.
Supondremos que la teoría tiene un principio de acción y que los eoms son los Ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) .
Se puede demostrar que la invariancia de Lorentz de la acción implica la covariancia de Lorentz de las ecuaciones EL, cf. por ejemplo este Puesto de Phys.SE.
La implicación (3) en principio no se cumple en la otra dirección, pero en la práctica las ecuaciones EL covariantes de Lorentz surgen de un principio de acción invariante de Lorentz.
La combinación de estos hechos muestra que es natural esperar que la acción sea invariante de Lorentz para una teoría covariante de Lorentz, véase la definición (1).
A continuación, supondremos que el Transformación de Legendre está bien definida.
También supondremos que la transformación de Legendre es una involución, es decir, que realizar la transformación de Legendre dos veces nos devuelve al punto de partida.
En particular, si OP parte de una covariante de Lorentz (pero no necesariamente manifiesta $^1$ covariante de Lorentz) formulación hamiltoniana, esto significa que los eoms hamiltonianos son covariantes de Lorentz, cf. definición (1). El hamiltoniano $^2$ $H(q,p)$ no es, por supuesto, invariante de Lorentz, sino la componente temporal de un cuatro vector, como escribe correctamente OP. Los puntos 2-4 motivan ahora que la acción hamiltoniana $$S_H[q,p]~=~\int \!dt ~(p_i\dot{q}^i-H(q,p))$$ es invariante de Lorentz. Se deduce que la acción lagrangiana $S[q]$ también es invariante de Lorentz.
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$^1$ Para formulaciones hamiltonianas manifiestamente covariantes de Lorentz, véase, por ejemplo, mi respuesta en Phys.SE aquí .
$^2$ El siguiente argumento puede extenderse a la teoría de campos.
Ejemplo: Teoría del campo escalar. Densidad lagrangiana ${\cal L}= \frac{1}{2} \phi_{,\mu}\eta^{\mu\nu}\phi_{,\nu} -V(\phi)$ con la convención de signos de Minkowski $(+,-,-,-)$ . Sea $\pi^{\mu}:=\frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_{,\mu}}=\eta^{\mu\lambda} \phi_{,\lambda}$ . EL eqs. $d_{\mu} \pi^{\mu}=\Box\phi \approx -V^{\prime}(\phi)$ . El $\pi^0$ es el campo de momento conjugado/canónico. Es la componente temporal de un vector 4. Paréntesis de Poisson no nulos $\{\phi({\bf x},t),\pi^0({\bf y},t)\}_{PB}=\delta^3({\bf x}-{\bf y})$ .
Hamilton's eom. $\dot{\phi}\approx \pi^0$ y $\dot{\pi}^0\approx \nabla^2\phi-V^{\prime}(\phi)$ . Tensor de tensión-energía-momento canónico $T^{\mu}{}_{\nu} = \pi^{\mu} \phi_{,\nu}-\delta^{\mu}_{\nu} {\cal L}$ . Teorema de Noether de la simetría de traslación $d_{\mu}T^{\mu}{}_{\nu}\approx 0$ . Densidad del 4-momento ${\cal P}_{\nu}=T^0{}_{\nu}$ . La densidad hamiltoniana ${\cal P}^0=T^{00}=\frac{1}{2}(\pi^0)^2 +\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 +V(\phi)$ es el $00$ -componente de una simetría $(2,0)$ tensor. ${\cal P}_{i}=\pi^0\phi_{,i}$ . 4-momento $P_{\nu}(t)=\int d^3x~{\cal P}_{\nu}({\bf x},t)$ .
Ejemplo: Partícula de punto libre. Lagrangiano $L=-\frac{m_0c^2}{\gamma}$ con la convención de signos de Minkowski $(-,+,+,+)$ . Aquí $\gamma := \left(1-\left(\frac{\dot{x}}{c}\right)^2\right)^{-\frac{1}{2}} $ $ = \sqrt{\left(\frac{p}{m_0c}\right)^2+1}$ , donde $3$ -momento $p_i:=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i}=\gamma m_0\dot{x}^i$ . Hamiltoniano $p^0:=p_i\dot{x}^i-L = \gamma m_0c^2$ es el $0$ -componente de un $4$ -vector.
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