Ejemplos de resultados no-constructiva

Question

Le estoy dando una charla sobre matemáticas constructivas, y quisiera algunos ejemplos snappy de cosas raras que ocurren en matemáticas no constructivo.

Por ejemplo, sería grande si había algún Teorema que $\neg \forall x. \neg P(x)$, donde no $x$satisfacción $P(x)$ era conocido o conocible.

Pero otros ejemplos son bienvenidos también.

Answer 1

En una divertida nivel, no es el juego de dos jugadores de Chomp.

Brevemente, tiene un $m\times n$ barra de chocolate, dividido en cuadrados como de costumbre. La esquina izquierda inferior de la pequeña plaza está envenenado. Los dos jugadores, a y B, juegan alternativamente. En cualquier movimiento, un jugador toma la esquina inferior izquierda de la plaza, y se come todas las plazas de arriba y/o hacia la derecha de la esquina. El objetivo no es comer la envenenada de la plaza.

Uno puede demostrar simplemente que Una tiene una estrategia ganadora para cualquier barra de chocolate, excepto el $1\times1$. Pero la prueba es indirecta. Es evidente que, para un determinado bar, uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora. Una muestra de que si B tenía una estrategia ganadora, entonces podría adaptar la estrategia y ganar, por tomar la plaza en la esquina superior derecha.

Sin embargo, incluso para los de tamaño modesto barras de chocolate, decir $19\times 19$, ninguna estrategia ganadora para Un conocido. Me puede estar fuera de fecha en el $19$, pero sé que el equipo busca estrategias no han tenido un gran éxito.

Answer 2

La existencia de una base de Hamel, es decir, una base para $\mathbb R$ como un espacio del vector encima $\mathbb Q$. No se conoce una base de Hamel; es probablemente unknowable en algún sentido.

La existencia de una base para cada espacio del vector es equivalente a axioma de la opción, que es el no-constructivo de las matemáticas por excelencia.

Answer 3

Si $\Phi$ es cualquier declaración, lo que sigue es una consecuencia de la ley de la middie excluido: $$ (\exists n \in \mathbb{N}) [(n = 0 \land \Phi) \lor (n \not = \land \lnot \Phi 0)] $$ Sólo es demostrable de forma constructiva si $\Phi$ o $\lnot \Phi$ es demostrable de forma constructiva, porque para demostrar que constructivamente se tendría que producir un valor real del $n$, que significa que tendría que decidir $\Phi$.

Answer 4

Por lo menos hace tiempo (no sé si esto ha sido aclarado recientemente), no se sabe que el % de las cantidades $\sqrt 2^\sqrt 2$y $(\sqrt 2^\sqrt 2)^\sqrt 2$ equipa un ejemplo de un número irracional elevado a una potencia irracional que es racional.

Answer 5

Teorema del punto fijo de Brouwer en 2 dimensiones es equivalente el hecho de que el juego de la hexagonal tiene una estrategia ganadora pero nadie sabe lo que es esa estrategia.