El límite de $(n!)^{1/n}/n$ $n\to\infty$

Question

(Prueba es necesaria)

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}$$

No tengo una respuesta, pero sé que existe, y está a menos de $1$.

Edit. Winther la respuesta es la más correcta, no entiendo cómo está saltando de (log(n!) - nlog( n )) es igual a la Suma de k=1 a n de log(k/n). No asumas que es malo, tengo que ir, y voy a seguir mirando, cuando vuelvo

Cualquier ayuda se aprecia

Answer 1

Poner $$a_n = \frac{n!^{1/n}}{n}$$

a continuación, $$\log a_n = \frac{1}{n}\left(\log n! - n\log n\right)= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\left(\frac{k}{n}\right)$$

donde hemos utilizado $\log n! = \log 1 + \log 2 + \ldots + \log n$. La suma anterior es una suma de Riemann para la integral $\int_0^1\log x dx$, por lo que

$$\lim_{n\to\infty} \log a_n = \int_0^1\log x dx = [x\log x - x]_0^1 = -1$$

y de ello se sigue que $$\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{1}{e}$$

Answer 2

Aquí es un simple elemental prueba de que he encontrado, pero primero de todo, algunos de los lemas:

• Este podría ser fácilmente comprobado por inducción: $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k} \right) = n+1$

• Usted puede tratar de demostrar esta desigualdad a ti mismo ya que no es difícil: $\displaystyle \left (1+\frac{1}{k} \right )^k\leq e \leq \left (1+\frac{1}{k} \right)^{k+1}\\$

• Esta desigualdad es la que voy a utilizar, porque aunque da mucho más estrecha obligado en nuestra secuencia y que es más divertido, aunque usted podría utilizar la segunda desigualdad sin cambio en la prueba. Me podría dar la prueba si es necesario:$\displaystyle \left (1+\frac{1}{k} \right )^k\leq e \leq \left (1+\frac{1}{k} \right)^{k+1/2}\\$

Ok, así que aquí está la prueba:

• En primer lugar, escribir $n^n/n!$ mejor manera: $\displaystyle \frac{n^n}{n!}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k} \right)^n \cdot \prod_{i=1}^{n-1}\prod_{k=1}^{i} \left(1+\frac{1}{k} \right)^{-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k} \right)^n\cdot \prod_{i=1}^{n-1} \left(1+\frac{1}{i} \right)^{-(n-i)}=\prod_{i=1}^{n-1} \left(1+\frac{1}{i} \right)^{i}$
• Ahora, hacemos uso de nuestra desigualdades para acotar nuestra secuencia. En primer lugar, un límite superior: $\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} \left(1+\frac{1}{i} \right)^{i} \leq \prod_{i=1}^{n-1}e^{1}=e^{n-1}$
• Entonces, un límite inferior: $\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} \left(1+\frac{1}{i} \right)^{i} \geq \prod_{i=1}^{n-1}\left (e^{1} \cdot \left(1+\frac{1}{i}\right)^{-1/2} \right )=\frac{e^{n-1}}{\sqrt[2]{n}}$
• Ahora, desde la $\frac{n!^{1/n}}{n}=(\frac{n^n}{n!})^{-1/n}$, obtenemos: $\displaystyle e^{\frac{1}{n}-1} \leq \frac{(n!)^{1/n}}{n} \leq e^{\frac{1}{n}-1} \cdot \sqrt[2n]{n}$
• Finalmente, por el teorema del sándwich, obtenemos $\displaystyle e^{0-1} \leq \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^{1/n}}{n} \leq e^{0-1} \cdot 1$
• Por lo tanto, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^{1/n}}{n}=e^{-1}$

Sé que hay más simples pruebas, pero esta es la primaria y siento que le da la intuición directa de por qué es cierto.

Answer 3

Stirling Aproximación $$ n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n $$ Lo que significa que $n!$ es asintóticamente equivalente a $\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ $n$ enfoques $\infty$. Si su familiar con asintótica fórmulas, entonces será también sé que esto implica que $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} =1 $$ Ahora, utilizando las leyes algebraicas de los límites, tenemos $$ \lim_{n\to\infty} n!=\lim_{n\to\infty} \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n $$ $$ \lim_{n\to\infty} e^n=\lim_{n\to\infty} \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n^n}{n!}\right) $$ $$ \lim_{n\to\infty} e=\lim_{n\to\infty} (2\pi n)^{\frac{1}{2n}}\left(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right) $$ Así que ahora $$ e=\left[\lim_{n\to\infty} e^{\ln(2\pi n)^{\frac{1}{2n}}}\right]\left[\lim_{n\to\infty} \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right] =\left[\lim_{n\to\infty} e^{\frac{\ln(2\pi n)}{2n}}\right]\left[\lim_{n\to\infty} \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right] $$ $$ =\left[\lim_{n\to\infty} e^{\frac{\frac{d}{dn}\ln(2\pi n)}{\frac{d}{dn}2n}}\right]\left[\lim_{n\to\infty} \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right] =\left[\lim_{n\to\infty} e^{\frac{1}{2n}}\right]\left[\lim_{n\to\infty} \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right] $$ $$ =e^0\left[\lim_{n\to\infty} \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right]=1\cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}} $$ Así $$ e=\lim_{n\to\infty} \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}} $$ Y ahora, podemos ver fácilmente que $$ \lim_{n\to \infty} \frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}= \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\left(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right)}=\frac{1}{e} $$ Déjeme saber si usted tiene alguna pregunta.

Answer 4

Sugerencia. Tomar el logaritmo natural de $\dfrac{(n!)^{1/n}}{n}$ y obtener $$ \frac{\log 1+\log 2+\cdots+\log n}{n}-\log n=\frac{\log (1/n)+\log(2/n)+\cdots+\log(n/n)}{n} \\=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\left(\frac{k}{n}\right) \a \int_0^1 \log x\,dx=-1. $$

Answer 5

Sugerencia (Sterling): $$n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$