¿Cómo definir funciones para los no-matemáticos?

Question

Soy docente de un Colegio de clase de Álgebra en el próximo semestre, y sólo una pequeña parte de los estudiantes será de pasar a la ampliación de matemáticas. La clase está construido alrededor de funciones, por lo que necesito para empezar con la definición de uno, sin embargo, muchas definiciones "oficiales" he encontrado muy complicado (o mal escrito) para uso general.

Aquí está uno de los mejores de la "luz" de las definiciones que he encontrado:

Una función es una relación que asigna a cada entrada (o dominio) valor, una única salida (o rango) valor".

Esto suena bastante simple en la superficie, pero a ponerme "en la cabeza" de un estudiante me hace una pausa. Es casi demasiado compacto, con potencialmente ambiguas palabras para el estudiante (relación? asigna? único?)

Aquí está mi mejor intento, en 3 partes. Cada parte de la definición se incluye una discusión y ejemplos antes de pasar a la siguiente parte.

Una relación es un conjunto de vínculos entre dos conjuntos.

Cada enlace de una relación tiene una entrada (en el conjunto de inicio) y una salida (en el final de conjunto).

Una función es una relación donde cada de entrada tiene uno y sólo uno de los posibles de salida.

Soy un poco más feliz aquí: a partir de una relación da algunos ejemplos naturales y hace que sea más fácil para impartir la especial importancia de una función (la cual es "mejor comportamiento" que el de una relación en la práctica circusmtances).

Pero también estoy inquieta todavía ("links"? Un conjunto entre conjuntos?) y yo estaba esperando a ver si alguien tiene una solución mejor.

Answer 1

Para la diversión, me gusta animar la "caja negra"/vista de la máquina de una función por poner un mono en el cuadro. (Tengo bastante bueno en la pizarra-el boceto de un mono que se veía un poco como Jorge el Curioso, pero con una cola.)

Dar la Función Mono de entrada y de él alegremente darle una salida. La Función Mono es lo suficientemente inteligente como para leer y seguir las reglas, y hacer los cálculos, pero él no está capacitado para tomar decisiones: sus reglas deben prever exactamente una salida para una entrada dada. (Nunca deje que un Mono elegir!)

Usted puede continuar con la metáfora por la discusión de los monos "dominio" como las entradas se entiende (lo que él puede controlar); dándole una entrada fuera de su dominio sólo confunde y asusta a él ... o, dependiendo de la naturaleza de la audiencia, lo mata. (¿Qué? Se dio el Recíproco del Mono un Cero? Usted mató a la Función Mono!!!) Por supuesto, es probable que sea más apropiado decir que la Función Mono simplemente ignora esas entradas, pero a los estudiantes les gusta el drama. (Como las advertencias de ir, "no hay que matar la Función Mono!!!" recibe más atención de la que "no aburra a la Función Mono!!!")

La Función Mono es muy útil más tarde, cuando inicie la graficación de funciones: imaginar que el eje x está cubierto con coco (un coco por "x" valor"). La Función Mono paseos a lo largo de un eje, se recoge una "x" de coco, calcula los asociados "y" valor " (porque eso es lo que él hace), y luego lanza el coco arriba (o hacia abajo) la altura adecuada por encima (o por debajo) del eje, donde por arte de magia palos (o cierne o lo que sea). Así que, si desea dibujar una función, sólo "Sea una Función de Mono y tirar algunos cocos". (Advertencia: los Estudiantes pueden insistir en que eso no es un coco el Mono es arrojar).

Más adelante, se puede dar el caso de que somos más inteligentes que los monos (al menos, debemos procurar ser): no siempre Tenemos a mindlessly puntos de la trama para saber cuál es la gráfica de una ecuación se parece; a veces podemos anticipar el resultado mediante el estudio de la ecuación. Esto motiva la manipulación de una ecuación para descubrir pistas sobre la forma de su gráfica, explicando, por ejemplo, nuestro interés en la forma pendiente-intersección de una línea de la ecuación (y el casi nunca enseñan-intercepción-intercepto, que personalmente me gusta mucho), las formas especiales de la sección cónica de ecuaciones (que no son todas las funciones, por supuesto), y todas esas cosas relacionadas con la traducción y a la escala.

Ecuaciones paramétricas pueden ser presentados como una manera de dejar a la Función Mono parcela elaborar curvas ... tanto en el plano y en el espacio (y más allá).

Con todo, me parece que la Función Mono puede hacer que el material de los cursos más interesantes sin banalizarla; provee una manera divertida de interpretar las definiciones y los comportamientos de las funciones, no es una manera de evitarlos. Ahora, es la Función Mono demasiado cursi para un Colegio de clase de Álgebra? Mis estudiantes de la escuela secundaria lo amaba, incluso en el Cálculo de nivel. Un ex alumno me dijo que solía invocar la Función Mono cuando la tutoría de sus compañeros de colegio. Si claro a los alumnos que el instructor no está tratando de ser condescendiente con ellos, la Función de Mono puede resultar muy útil.

Answer 2

La forma en que ha reexpresado la definición es bastante común en el contemporáneo de alta los libros de la escuela en los Estados Unidos (tal vez el cambio de "enlaces entre dos conjuntos" a "pares ordenados"). Lo he visto un montón de escuela media y de la anterior álgebra configuración es la idea de una "función de la máquina." La función de la máquina gráfico de abajo es del FCIT (©2009), pero una búsqueda de imágenes de google para la función de la máquina se muestran muchas formas diferentes en que el concepto puede ser visualizado.

Si bien esto probablemente empuja la idea de que una función tiene una fórmula, me gustaría afirmar que "la regla" podría ser tan general como un listado específico de que las entradas de mapa para los que las salidas, como en su definición. Para mí, la prevalencia de esta máquina metáfora en la escuela intermedia contextos sugiere que funciona bien para los estudiantes que no necesariamente tienen un sentido simbólico del álgebra. He visto función de las máquinas que se usen tan bajos como los de 3er grado.

Answer 3

Yo la describiría como un verbo. La gente está familiarizada con los nombres y los verbos de manera de llegar a la pala en un montón de entendimiento formal gratis de esa manera. Tomar un sustantivo, un número real o un vector o, mejor aún, un alimento, un programa de TELEVISIÓN, o de una persona – y pensar en algo que opera en él. Entonces el verbo se transforma y es diferente.

Realmente la mejor cosa a hacer es darles un positivo, creativo, auto-expresiva de asignación como un ensayo. Ofrecer crédito extra a las personas que encuentran ejemplos de funciones en el mundo real curso a lo largo del semestre. Si traen ejemplos de dos - o tres-lugar operadores luego de llegar a explicar por qué están justo en frente de la clase y que acaba de venir la conferencia de partida para usted.

Mira las portadas de las revistas en la tienda de comestibles y obtendrá el material para los ejemplos que se debe utilizar. Tome la pérdida de peso. Usted podría gráfico el número de calorías ingeridas en comparación con la ganancia de peso/pérdida. Darles un montón de ejemplos de funciones y, a continuación, la definición en el final , a continuación, pedirles que busquen a lo largo del semestre para más ejemplos. Esto se debe en concierto con o como parte de un programa semanal de una página (o un párrafo) ensayo de someterse a un ejemplo de algo de la clase que se relaciona con algo de vida.

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Aquí hay otro truco que he utilizado en la enseñanza de alrededor de $(x-1)^2$ frente $x^2 - 1$, que seguramente va a venir para arriba también. Descomponer en dos funciones. $x \mapsto x-1$ reetiqueta abcissa y que ha preparado la placa mediante el uso de un punteado o no ordina. Entonces $\cdot \mapsto \cdot^2$ le permite dibujar la parábola – y es conveniente desplazado al lugar correcto cuando se pone el original abcissa debajo.

Answer 4

Isaac respuesta es casi exactamente la primera definición que puedo dar. Pero lo que viene después es similar a lo que usted está describiendo, analizo cada palabra ambigua en la definición en la gran longitud, en sustitución de la palabra con sinónimos. Esperemos que esto permite a los estudiantes a tomar en la ligera abstracción de la definición.

Después de hacer la definición y explicación de las palabras que yo sobre 9 ejemplos. Tres de cada una de tres clases:

poco sentido de conjunto de diagramas, es decir, óvalos con los puntos dentro de ellos y las líneas que van entre ellos. algebraicamente con f(x)= los gráficos

Dos de cada clase de ejemplo, son funciones y apuntar todas las partes de la definición y de lo que les corresponde. El tercer ejemplo de cada clase es un no ejemplo, es decir, no una función. Señalo donde el problema es, mostrando así que un punto tiene dos flechas, un número puede ser enchufado en dos y la línea vertical de la prueba respectivamente.

Me parece que esto es muy exitoso.

Answer 5

Voy a empezar con la noción de una expresión. Una expresión es una gramaticalmente significativa de la combinación de variables y constantes. No necesito decirle a esta audiencia a lo que me refiero. Una ecuación de relacionar dos expresiones. Para resolver una ecuación de una variable de uno manipula la ecuación de acuerdo a las reglas hasta que una variable está escrito de forma inequívoca en términos de los otros. Esto puede no ser siempre.

Una función es una ecuación en dos variables en las que una variable (y) puede ser resuelto como una clara expresión en la otra variable (x). Por lo tanto y puede ser escrito como una expresión en x. Luego deje que los estudiantes saben (a) esta definición no es lo suficientemente bueno para los matemáticos, (b) que funciona bastante bien para todas las aplicaciones que tenemos en mente. A lo largo del proceso se dan ejemplos.