Debería ser obvio que, independiente de estados cuánticos están compuestas por tomar el producto tensor?

Question

Mi texto introduce multi-quibt estados cuánticos con el ejemplo de un estado que puede ser "factorizado" en dos (no-enredados) substates. A continuación, se sugiere que debería ser obvio,¹ que la articulación del estado de las dos (no-enredados) substates debe ser el producto tensor de la substates: que es, por ejemplo, que dado un primer qubit

$$\left|a\right\rangle = \alpha_1\left|0\right\rangle+\alpha_2\left|1\right\rangle$$

y un segundo qubit

$$\left|b\right\rangle = \beta_1\left|0\right\rangle+\beta_2\left|1\right\rangle$$

cualquier no-enredados conjunta de dos qubit estado de $\left|a\right\rangle$ $\left|b\right\rangle$

$$\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle = \alpha_1 \beta_1\left|00\right\rangle+\alpha_1\beta_2\left|01\right\rangle+\alpha_2\beta_1\left|10\right\rangle+\alpha_2\beta_2\left|11\right\rangle$$ pero no está claro para mí por qué esto debería ser el caso.

A mí me parece que hay algunos implícita la comprensión o interpretación de los coeficientes $\alpha_i$ $\beta_i$ que se utiliza para llegar a esta conclusión. Es suficientemente claro por qué esto debe ser así para un caso clásico, donde los coeficientes representan (donde normalizado, relativo) de la abundancia, de modo que el resultado se sigue de simple combinatoria. Pero, ¿cómo se explica la afirmación de que esto es cierto para un sistema cuántico, en el que (al menos en mi texto, hasta este punto) coeficientes sólo tienen esta correspondencia por analogía (y una sorprendente analogía en que, puesto que puede ser complejo y negativo)?

Debería ser obvio que, independiente de estados cuánticos están compuestas por tomar el producto tensor, o es alguna otra observación o la definición (por ejemplo, de la naturaleza de los coeficientes de estados cuánticos) que se requiere?

---

^{1: Ver (en la parte inferior de la p. 18) "por lo tanto el estado de los dos qubits debe ser el producto" (énfasis añadido).}

Answer 1

Gran pregunta! Creo que no hay nada obvio en juego aquí.

En la mecánica cuántica, asumimos que el estado de cualquier sistema es un elemento normalizado de un espacio de Hilbert $\mathcal H$. Me voy a limitar la discusión a los sistemas que se caracteriza por finito-dimensional de Hilbert espacios para la conceptual y la simplicidad matemática.

Cada uno de los observables de la cantidad de que el sistema está representado por un auto-adjunto del operador $\Omega$ cuyos autovalores $\omega_i$ son los valores que se pueden obtener después de realizar una medición de lo observable. Si un sistema está en el estado $|\psi\rangle$, entonces cuando uno realiza una medición en el sistema, el estado del sistema se derrumba a uno de los vectores propios $|\omega_i\rangle$ con una probabilidad de $|\langle \omega_i|\psi\rangle|^2$.

El teorema espectral garantiza que los vectores propios de cada observable formar una ortonormales base para el espacio de Hilbert, por lo que cada estado $\psi$ puede ser escrito como $$ |\psi\rangle = \sum_{i}\alpha_i|\omega_i\rangle $$ para algunos números complejos $\alpha_i$ tal que $\sum_i|\alpha_i|^2 = 1$. A partir de la medición de la regla anterior, se deduce que el $|\alpha_i|^2$ representa la probabilidad de que al momento de la medición de la observables $\Omega$, el sistema va a colapsar al estado $|\omega_i\rangle$ después de la medición. Por lo tanto, los números de $\alpha_i$, aunque complejo, en este sentido, representan "la abundancia relativa" como usted dice. Para hacer esta interpretación fuerte, usted podría pensar en un estado $|\psi\rangle$ como un conjunto de $N$ idénticamente preparados los sistemas con el número de $N_i$ elementos en el conjunto correspondiente al estado $|\omega_i\rangle$ equivale a $|\alpha_i|^2 N$.

Ahora supongamos que tenemos dos sistemas cuánticos en espacios de Hilbert $\mathcal H_1$ $\mathcal H_2$ con observables $\Omega_1$ $\Omega_2$ respectivamente. Entonces, si hacemos una medición en el sistema combinado de ambas variables observables, entonces el sistema 1 se derrumbará a algunos $|\omega_{1i}\rangle$ y el sistema 2 se derrumbará a algún estado $|\omega_{2 j}\rangle$. Parece razonable esperar que el estado del sistema combinado después de la medición podría ser cualquier par. Por otra parte, el principio de superposición cuántica nos dice que cualquier combinación lineal de dichos par de los estados también deben ser físicamente permitido estado del sistema. Estas consideraciones naturalmente nos llevan a utilizar el producto tensor $\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2$ a describir el sistema compuesto porque es la formalización de la idea de que la combinación de espacio de Hilbert debe compone de todas las combinaciones lineales de los pares de los estados en los componentes de los subsistemas.

Es que el tipo de motivación para el uso de tensor de productos que estabas buscando?

Answer 2

En realidad la historia de el producto tensor, que es típicamente dijo, como un axioma en el mundo de la información cuántica, viene de la relativista teoría de los electrones de Dirac.

En relativista de la mecánica cuántica a una función de onda es sustituida por 4 wavefunctions y una adecuada contracción conduce a una matriz de dos elementos (1,0) o (0,1) que llamamos la vuelta.

En el caso de 2 electrones en la misma teoría conduce a un 16-componente de la función de onda, y después de algún recorte podemos llegar hasta un 4 de objetos componentes (llamados Pauli spinor para 2 electrones). A este objeto y a las distintas operaciones con el Hamiltoniano se describe mejor en términos de álgebra) mediante tensor de producto de los estados (1,0) y (0,1).

Obviamente estos tensor de producto corresponden a las tiradas, y ya que la idea de qubit viene de que de la vuelta, la idea del tensor de la composición es ahora tomado axiomáticamente en QIP.