Dimensión topológica a través de cadenas de conjuntos cerrados no densos en ninguna parte

Question

En geometría algebraica, se define la dimensión en un punto de una variedad $X$ como la longitud de la cadena más larga de subconjuntos cerrados irreducibles (en la topología de Zariski de la variedad) que contienen el punto. Esta definición es puramente topológica, pero es inútil para los espacios de Hausdorff, ya que para ellos los únicos subconjuntos cerrados irreducibles son los singletons.

Sin embargo, hay otra característica de la topología de Zariski: es localmente conectada y localmente irreducible, lo que nos permite reformular la definición de dimensión en un punto $x\in X$ como el mayor $n$ para el que existe una cadena de conjuntos conectados, localmente conectados, cerrados y no densos en ningún lugar (es decir, con el interior vacío) $x\in C_1\subsetneq C_2\subsetneq\dots C_n\subseteq X$ con cada $C_i$ ninguna parte densa en $C_{i+1}$ (en la topología del subespacio). A falta de un término estándar que yo conozca, yo llamaría a esto la "dimensión densa (conectada) en ninguna parte de $x\in X$ ".

Mi pregunta es si $\mathbb R^n$ con su topología euclidiana estándar tiene una dimensión finita "no densa en ninguna parte" $n$ . A no ser que me equivoque, lo cierto es que $\mathbb R$ en sí mismo tiene "ninguna dimensión densa" $1$ (nótese que la conexión es crucial). ¿Tiene $\mathbb R^2$ tienen "ninguna dimensión densa" $2$ ? Me parece que sí.

Answer 1

No, $\mathbb{R}^2$ tiene una dimensión densa en ninguna parte superior a 2. En particular, es fácil extender el siguiente ejemplo con una construcción "fractal" para mostrar que tiene una dimensión densa en ninguna parte infinita.

Toma $C_0=\{(0,0)\}$ , $C_1=[0,1]\times\{0\}$ un segmento horizontal, $C_3=[0,1]\times[0,1]$ un cuadrado, ahora queremos construir $C_2$ .

Para cada número racional $p/q\in [0,1]$ tal que $p/q$ es la forma mínima (es decir $(p,q)=1$ , $p,q\geq 0$ ) considere el segmento vertical $S_{p/q}=\{p/q\}\times [0,1/q]$ . Llame a $C_2$ la unión de $C_1$ y $S_{p,q}$ para cada racional $p/q\in [0,1]$ : es fácil ver que $C_2$ es cerrada y conectada, y que las dos inclusiones $C_1\subseteq C_2$ y $C_2\subseteq C_3$ no son densos en ninguna parte. Además, $C_2$ está claramente conectada localmente en los puntos de $C_1$ .

Por lo tanto, toma un punto $x=(p/q,y)\in S_{p/q}\setminus C_1$ , $y\neq 0$ . Existe un $r>0$ de manera que si $0<|p'/q'-p/q|<r$ entonces $1/q'<y/2$ . Ahora elija $r'=\operatorname{min}\{y/2,r\}$ . Se puede ver que $B(x,r')\cap C_2=B(x,r')\cap S_{p/q}$ y $S_{p,q}$ es localmente conectado, por lo que $C_2$ también está conectado localmente.