Es fácil mostrar $C[0,1]$ no es denso en $L^{\infty}[0,1]$ en la norma de la topología, sino $C[0,1]$ es denso en $L^{\infty}[0,1]$ en la débil*-topología cuando tome $L^{\infty}$ como el doble de $L^{1}$. cómo demostrarlo?
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Reto Meier
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Deje $\psi_n$ ser una secuencia de estándar mollifiers, simétricas respecto a 0. Si $f \in L^\infty$, $g \in L^1$, es una aplicación rápida de la del teorema de Fubini para ver que $\int (f * \psi_n) g = \int f (\psi_n * g)$ donde $*$ denota la convolución. Desde $f * \psi_n$ es continua y $\psi_n * g \to g$$L^1$, hemos terminado.
Dado $f\in L^\infty$, aplicar Lusin del teorema infinidad de veces para obtener una secuencia $(f_n)_n$ $C[0,1]$ uniformemente acotada por $\|f\|_\infty$ tales que la medida del conjunto donde $f$ $f_n$ son desiguales es menos de $\frac{1}{n}$. Si $g\in L^1$, luego se le da $\varepsilon\gt 0$ existe $N$ tal que $\int_A|g|<\varepsilon$ siempre que la medida de $A$ es de menos de $\frac{1}{N}$. A continuación, $|\int_0^1(f-f_k)g|\leq 2\|f\|_\infty\varepsilon$ todos los $k\geq N$. Esto implica que $f_n\to f$ en los débiles-$*$ topología, debido a que $\int_0^1 f_ng\to\int_0^1fg$ todos los $g\in L^1$.
Alternativamente, usted puede mostrar que la secuencia de Cesàro medio de la serie de Fourier de $f$ converge a $f$ en los débiles-$*$ topología.
